Poisson-Verteilung Rechner
Gib eine mittlere Rate und eine Anzahl an Ereignissen ein, um die Poisson-Wahrscheinlichkeit P(k; λ) = (λ^k × e^(−λ)) / k! zu erhalten — die Chance, genau so viele seltene, unabhängige Ereignisse in einem festen Intervall zu sehen.
Was ist die Poisson-Verteilung?
Wahrscheinlichkeit seltener, unabhängiger Ereignisse
Dieser Poisson-Verteilung-Rechner liefert die Wahrscheinlichkeit, in einem festen Intervall aus Zeit, Raum oder Fläche genau eine bestimmte Anzahl an Ereignissen zu beobachten, wenn diese unabhängig und mit konstanter mittlerer Rate auftreten. Du gibst zwei Zahlen ein: die mittlere Rate λ (die erwartete Anzahl pro Intervall) und die Anzahl k (die genaue Zahl an Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeit du suchst). Die Poisson-Verteilung ist das Modell hinter Fragen wie „Wie wahrscheinlich sind genau 2 Support-Anrufe in dieser Stunde, wenn wir im Schnitt 3 haben?" und sie liegt der Warteschlangen-, Zuverlässigkeits- und Seltene-Ereignis-Analyse in Wissenschaft und Wirtschaft zugrunde.
Gib eine mittlere Rate λ und eine ganze Zahl an Ereignissen k ein, um sofort die Poisson-Wahrscheinlichkeit zu erhalten.
Die Poisson-Wahrscheinlichkeitsfunktion erhebt die Rate in die Potenz der Anzahl, multipliziert mit dem natürlichen Exponential der negativen Rate und teilt durch die Fakultät der Anzahl.
P(k; λ) = (λ^k × e^(−λ)) / k!Dabei ist e die eulersche Zahl (etwa 2,71828) und k! die Fakultät von k (wobei 0! als 1 definiert ist). Weil λ sowohl in einer Potenz als auch im Exponential steckt, erreicht die Wahrscheinlichkeit ihr Maximum nahe λ und fällt für Anzahlen weit darüber oder darunter ab. Das Ergebnis liegt stets zwischen 0 und 1.
Angenommen, ein Helpdesk hat im Schnitt λ = 3 Anrufe pro Stunde und du möchtest die Wahrscheinlichkeit für genau k = 2 Anrufe in der nächsten Stunde.
Rate in die Potenz von k erheben
3² = 9 — die Rate erhoben in die Anzahl der Ereignisse.
Mit e hoch minus Rate multiplizieren
9 × e^(−3) = 9 × 0,049787 = 0,448084 — die Gewichtung durch den exponentiellen Abfall.
Durch k Fakultät teilen
0,448084 ÷ 2! = 0,448084 ÷ 2 = 0,224042 — etwa 22,4 % Chance auf genau 2 Anrufe.
Die Poisson-Verteilung modelliert die Anzahl seltener, unabhängiger Ereignisse in einem festen Intervall, und dein Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl. Ein prägendes Merkmal: Mittelwert und Varianz sind beide gleich λ — der durchschnittliche Ausgang und die Streuung der Ausgänge werden von derselben einzigen Zahl bestimmt. Bei λ = 3 häufen sich die wahrscheinlichsten Anzahlen also um 2 und 3, und die Wahrscheinlichkeit für genau 2 (0,224042) ist ein Ausschnitt dieser gesamten Verteilung. Die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Anzahl summieren sich zu 1, sodass dir ein einzelner Wert wie 0,2240 zeigt, wie viel der Gesamtwahrscheinlichkeit auf genau diesen Ausgang entfällt. Ein höheres λ verschiebt das Maximum nach rechts und verbreitert die Streuung; ein niedrigeres schiebt die Masse Richtung 0. Deshalb beschreibt die Poisson-Verteilung Dinge wie Anrufe bei einer Telefonzentrale, Zerfallsereignisse einer radioaktiven Probe, Tippfehler pro Seite oder Tore in einem Spiel — überall dort, wo jedes Ereignis unabhängig ist und die Rate ungefähr konstant bleibt.
Die Formel ist exakt, doch das Modell passt nur, wenn seine Annahmen gelten.
Unabhängige Ereignisse, konstante Rate und eine ganzzahlige Anzahl
Die Poisson-Verteilung setzt voraus, dass Ereignisse unabhängig und mit konstanter mittlerer Rate über das Intervall auftreten. Treten Ereignisse gehäuft auf, beeinflussen sie einander oder driftet die Rate mit der Zeit, unter- oder überschätzt das Poisson-Modell die wahre Wahrscheinlichkeit. Die Anzahl k muss eine nicht-negative ganze Zahl sein — 2,5 Ereignisse gibt es nicht — und die Rate λ muss größer als null sein. Für eine feste Anzahl an Versuchen mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit verwende stattdessen die Binomialverteilung.