Potenz Rechner
Erhebe eine beliebige Basis in einen beliebigen Exponenten — Basis ^ Exponent — auch mit negativen und gebrochenen Potenzen, mit sofortigem Ergebnis.
Eine einfache Regel
Der Exponent zählt, wie oft sich die Basis mit sich selbst multipliziert, also ist 2 ^ 10 zehn miteinander multiplizierte 2er.
Manche Potenzen haben keinen reellen Wert
Eine negative Basis mit gebrochenem Exponenten — etwa (-2) ^ 0,5 — hat kein reelles Ergebnis, daher gibt das Werkzeug nichts aus statt einer irreführenden Zahl.
Was ist ein Exponent?
Eine Basis hoch einer Potenz
Ein Exponent, auch Potenz genannt, ist die Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation. Bei Basis ^ Exponent ist die Basis die Zahl, mit der du startest, und der Exponent gibt an, wie oft du sie mit sich selbst multiplizierst. So bedeutet 2 ^ 10 zehn miteinander multiplizierte 2er, und 5 ^ 2 bedeutet 5 × 5. Basis und Exponent können jeweils jede Zahl sein — positiv, negativ, ganz oder gebrochen —, sodass eine einzige Regel von Quadraten über Wurzeln bis zu Kehrwerten alles abdeckt.
Bei einem ganzzahligen Exponenten multiplizierst du die Basis einfach so oft mit sich selbst. Jeder Schritt nutzt dieselbe Basis, und der Exponent ist nur die Anzahl der Faktoren.
Ergebnis = Basis ^ ExponentLiest du die Formel von links nach rechts, bleibt sie anschaulich: Die Basis ist das, was du multiplizierst, und der Exponent ist die Anzahl der Kopien im Produkt. Verlässt der Exponent die ganzen Zahlen — wird er negativ oder gebrochen —, gilt dieselbe Schreibweise weiter, sie steht dann nur für Kehrwerte und Wurzeln statt für reine Multiplikation.
Angenommen, du möchtest 2 hoch 10 berechnen.
Die Teile bestimmen
Die Basis ist 2 und der Exponent ist 10, du brauchst also zehn miteinander multiplizierte 2er.Schritt für Schritt multiplizieren
Wiederholtes Verdoppeln: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 — das sind zehn Faktoren 2.Ergebnis ablesen
Nach zehn Multiplikationen ist das Produkt 1024, also 2 ^ 10 = 1024.
Die Zahl, die du zurückbekommst, ist ein reiner Wert ohne Einheit — sie ist einfach die Basis, so oft wie angegeben mit sich selbst multipliziert. Wie du sie liest, hängt vom Exponenten ab. Ein positiver ganzzahliger Exponent ist reine wiederholte Multiplikation, also 5 ^ 2 = 25. Ein negativer Exponent bedeutet einen Kehrwert: 2 ^ -3 = 1 ÷ 2 ^ 3 = 1 ÷ 8 = 0,125, das Ergebnis schrumpft also, statt zu wachsen. Ein gebrochener Exponent ist eine Wurzel: 9 ^ 0,5 = √9 = 3, und 8 ^ (1/3) ist die Kubikwurzel von 8, nämlich 2. Alles hoch 0 ergibt 1, was die Potenzregeln konsistent hält. Manche Kombinationen haben keinen reellen, endlichen Wert — eine negative Basis mit gebrochenem Exponenten, etwa (-2) ^ 0,5, oder null hoch einer negativen Zahl, die durch null teilt —, und dafür gibt dieses Werkzeug kein Ergebnis aus statt einer irreführenden Zahl.
Die Arithmetik ist für gewöhnliche Werte exakt; die Sorgfalt steckt ganz in den Randfällen.
Manche Potenzen sind über den reellen Zahlen nicht definiert
Dieser Rechner arbeitet nur mit reellen Zahlen. Eine negative Basis hoch einem gebrochenen Exponenten hat keinen reellen Wert — (-2) ^ 0,5 wäre die Quadratwurzel einer negativen Zahl —, daher gibt das Werkzeug kein Ergebnis aus. Null hoch einer negativen Zahl teilt durch null und strebt gegen unendlich, was ebenfalls als kein Ergebnis gemeldet wird. Sehr große Basen und Exponenten können außerdem den Bereich der Gleitkomma-Arithmetik mit doppelter Genauigkeit überschreiten; geschieht das, ist das Ergebnis nicht endlich und es wird keine Zahl angezeigt. Innerhalb dieser Grenzen ist die Antwort auf sechs Nachkommastellen genau.