Logarithmus Rechner
Gib eine Zahl und eine Basis ein, um den Logarithmus log_b(x) zu erhalten — samt dem natürlichen Logarithmus ln(x) — mit der Basiswechselregel ln(x) ÷ ln(b).
Jede Basis, sofort
Gib einen Wert und eine Basis ein und der Rechner liefert den Logarithmus log_b(x) und den natürlichen Logarithmus ln(x) zusammen — ohne mit Basis-10- oder Basis-2-Tasten zu jonglieren.
Bleib positiv
Der Wert muss größer als 0 sein und die Basis größer als 0 und ungleich 1 — außerhalb dieses Bereichs ist der Logarithmus nicht definiert.
Was ist ein Logarithmus?
Der Exponent, der eine Zahl wiederherstellt
Ein Logarithmus beantwortet eine einzige Frage: Mit welcher Potenz musst du die Basis potenzieren, um deine Zahl zu erhalten? Geschrieben als log_b(x) ist er der Exponent, der die Basis b in x verwandelt, also log₁₀(1000) = 3, weil 10³ = 1000 ist. Dieser Logarithmus-Rechner nimmt zwei Eingaben — den Wert x und die Basis b — und liefert log_b(x) über die Basiswechselregel ln(x) ÷ ln(b), samt dem natürlichen Logarithmus ln(x) selbst. Logarithmen sind die Umkehrung des Potenzierens und stecken hinter Dezibel, dem pH-Wert, der Richterskala und der Art, wie wir Größenordnungen messen.
Gib einen positiven Wert und eine Basis größer als 0 (und ungleich 1) ein, um sofort den Logarithmus und den natürlichen Logarithmus zu erhalten.
Der Logarithmus zu jeder Basis ist der natürliche Logarithmus des Werts geteilt durch den natürlichen Logarithmus der Basis — die Basiswechselregel.
log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b)Weil jeder Logarithmus dieselbe Regel teilt, funktioniert dieselbe Rechnung für Basis 10 (Zehnerlogarithmen), Basis 2 (in Informatik und Informationstheorie), Basis e ≈ 2,71828 (natürliche Logarithmen) oder jede andere positive Basis. Der natürliche Logarithmus ln(x) ist einfach log_b(x) mit der Basis e, weshalb er hier als zweites Ergebnis erscheint.
Angenommen, du möchtest den Logarithmus von 1000 zur Basis 10.
Natürlichen Logarithmus des Werts nehmen
ln(1000) ≈ 6,907755 — der natürliche Logarithmus von 1000.
Natürlichen Logarithmus der Basis nehmen
ln(10) ≈ 2,302585 — der natürliche Logarithmus der Basis.
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6,907755 ÷ 2,302585 = 3 — der Logarithmus von 1000 zur Basis 10. Der natürliche Logarithmus ln(1000) ≈ 6,907755 wird als zweites Ergebnis ausgegeben.
Der Logarithmus nennt dir den Exponenten, nicht den Wert. Ein Ergebnis von 3 für log₁₀(1000) bedeutet, dass 1000 gleich 10 hoch 3 ist — drei Größenordnungen. Genau das ist die Stärke von Logarithmen: Sie stauchen riesige multiplikative Bereiche zu kleinen additiven Zahlen, sodass ein Sprung um 1 immer „mal die Basis“ heißt. Auf einer Basis-10-Skala ist der Schritt von 2 auf 3 der Unterschied zwischen 100 und 1000; auf der Basis-2-Skala verdoppelt jeder Schritt um 1 den Wert. Der natürliche Logarithmus ln(x) nutzt die besondere Basis e und ist die Variante, die in Wachstum, Zerfall und Analysis auftaucht, weil ihre Änderungsrate einzigartig einfach ist. Ist dein Wert gleich der Basis, ist der Logarithmus 1; ist der Wert 1, ist der Logarithmus 0; und Werte unter 1 ergeben negative Logarithmen — Brüche brauchen einen negativen Exponenten, um wiederhergestellt zu werden.
Die Basiswechselregel ist exakt, doch der Definitionsbereich eines Logarithmus ist streng.
Positiver Wert, gültige Basis
Logarithmen sind nur für einen Wert größer als 0 definiert; es gibt keinen reellen Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl. Die Basis muss ebenfalls größer als 0 sein und darf nicht gleich 1 sein — ln(1) ist 0, sodass die Division dadurch undefiniert ist und Basis 1 ohnehin nur 1 erzeugen könnte. Außerhalb dieses Bereichs liefert der Rechner kein Ergebnis statt einer irreführenden Zahl.