Exponentielles Wachstum Rechner
Gib einen Anfangswert, eine Wachstumsrate und eine Anzahl von Perioden ein, um den Endwert aus kontinuierlichem exponentiellem Wachstum zu erhalten — samt der Gesamtänderung über die Zeit.
Endwert und Gesamtänderung
Gib Startwert, Rate und Zeit ein und der Rechner liefert den Endwert aus A = P · e^(r·t) und die Gesamtänderung (Endwert minus Anfangswert).
Rate als Dezimalzahl
Gib die Wachstumsrate als Dezimalzahl ein — 0,05 bedeutet 5 % pro Periode. Verwende eine negative Rate wie -0,03, um Zerfall statt Wachstum abzubilden.
Was ist exponentielles Wachstum?
Wachstum, das sich selbst verstärkt
Der Rechner für exponentielles Wachstum macht aus drei Zahlen — einem Anfangswert, einer Wachstumsrate und einer Zeitspanne — den Wert nach kontinuierlichem exponentiellem Wachstum, A = P · e^(r·t), samt der Gesamtänderung über den Zeitraum. Exponentielles Wachstum entsteht, wenn eine Größe in jedem Augenblick um einen festen Anteil ihrer aktuellen Größe zunimmt, sodass der hinzukommende Betrag immer größer wird. Das ist die Mathematik hinter Zinseszins, Bevölkerungszunahme und viraler Verbreitung, und dieselbe Formel läuft rückwärts — mit negativer Rate — zur Abbildung von Zerfall wie radioaktiver Halbwertszeit oder einem an Wert verlierenden Gut.
Gib einen Anfangswert, eine Wachstumsrate als Dezimalzahl und eine Anzahl von Perioden ein, um sofort den Endwert und die Gesamtänderung zu erhalten.
Der Endwert ist der Anfangswert multipliziert mit e (etwa 2,71828) hoch Wachstumsrate mal Zeit, und die Gesamtänderung ist einfach der Endwert minus dem Anfangswert.
A = P · e^(r·t)Weil der Exponent r·t in der Potenz von e steht, beschleunigt sich das Ergebnis: Jede Periode baut auf der vorigen auf, sodass eine Verdopplung der Zeit den Zuwachs mehr als verdoppelt. Halte Rate und Zeit in passenden Einheiten — eine jährliche Rate mit einer Anzahl von Jahren, eine tägliche Rate mit Tagen —, dann bleibt das Ergebnis stimmig.
Angenommen, du startest mit 1000 und es wächst kontinuierlich mit einer Rate von 0,05 (5 %) über 10 Perioden.
Rate mit der Zeit multiplizieren
0,05 × 10 = 0,5 — der Exponent, der das Wachstum antreibt.
e hoch diesen Exponenten nehmen
e^0,5 ≈ 1,648721 — der Wachstumsfaktor über den gesamten Zeitraum.
Mit dem Anfangswert multiplizieren
1000 × 1,648721 = 1648,721271 — der Endwert. Die Gesamtänderung ist 1648,721271 − 1000 = 648,721271.
Die zwei Ergebnisse beantworten zwei verschiedene Fragen. Der Endwert (1648,72 oben) ist der Punkt, an dem die Größe nach der vollen Spanne kontinuierlichen Wachstums landet, und die Gesamtänderung (648,72) ist, wie viel sie dabei gewonnen hat — die zentrale Zahl für alles, was dich als Nettozuwachs interessiert. Ist die Rate negativ, wird das Modell zu exponentiellem Zerfall: Der Endwert fällt unter den Anfangswert und die Gesamtänderung kommt negativ zurück und zeigt den Verlust. Das entscheidende Merkmal der Kurve ist, dass das Wachstum sich selbst nährt, sodass der absolute Zuwachs in späteren Perioden den der frühen weit übertrifft, obwohl sich die Rate nie ändert. Genau deshalb erzeugen langfristiger Zinseszins und ungebremstes Bevölkerungswachstum überraschend große Zahlen, und kleine Unterschiede in der Rate summieren sich über die Zeit zu großen Unterschieden.
Die Formel ist exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Kontinuierliches Modell und konstante Rate
Dieser Rechner nutzt das kontinuierliche Wachstumsmodell A = P · e^(r·t), das in jedem Augenblick verzinst — diskretes Wachstum, das einmal pro Periode verzinst, verwendet stattdessen A = P · (1 + r)^t und ergibt ein etwas kleineres Ergebnis. Das Modell nimmt außerdem an, dass die Rate über die ganze Spanne konstant bleibt; echte Bevölkerungen, Märkte und Ressourcen verlangsamen sich irgendwann, wenn Grenzen erreicht werden, also betrachte sehr lange Projektionen eher als günstigsten Fall denn als Prognose.