Fakultät Rechner
Gib eine ganze Zahl ein und erhalte ihre Fakultät — das Produkt 1 × 2 × … × n, das zählt, auf wie viele Arten sich n verschiedene Elemente anordnen lassen, die Zahl hinter Permutationen und Kombinationen.
Eine Zahl, ein Ergebnis
Gib eine ganze Zahl n ein und der Rechner liefert n!, das Produkt jeder ganzen Zahl von 1 bis n — zum Beispiel 5! = 120.
Zählt Anordnungen
n! ist die Anzahl der Möglichkeiten, n verschiedene Elemente anzuordnen, und wächst daher extrem schnell — 10! ist bereits über 3,6 Millionen.
Was ist eine Fakultät?
Das Produkt jeder ganzen Zahl bis n
Die Fakultät einer ganzen Zahl n, geschrieben n! und gesprochen „n Fakultät“, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis n: n! = 1 × 2 × … × n. Per Definition ist 0! = 1, denn es gibt genau eine Möglichkeit, nichts anzuordnen. Fakultäten beantworten die Frage „auf wie viele Arten kann ich n verschiedene Elemente anordnen“ — genau die Anzahl hinter Permutationen —, und sie stecken auch in der Kombinationsformel. Da jeder Schritt mit der nächsten ganzen Zahl multipliziert, wachsen Fakultäten schneller als jede Exponentialfunktion: Schon ein kleines n ergibt ein riesiges n!.
Gib eine ganze Zahl ein, um ihre Fakultät sofort zu erhalten — von 0! bis hinauf zu 170!.
Eine Formel, gebildet aus einer einzigen ganzen Zahl n.
n! = 1 × 2 × … × nDie Fakultät multipliziert jede ganze Zahl von 1 bis n zu einem einzigen laufenden Produkt. Beginnend bei 1 multipliziert der Rechner mit 2, dann mit 3 und so weiter bis n. Das leere Produkt — der Fall n = 0 — ist als 1 definiert, weshalb 0! = 1 gilt. Dieses Tool unterstützt Werte bis 170!, weil größere Ergebnisse den Bereich üblicher Gleitkommazahlen überschreiten.
Angenommen, du möchtest wissen, auf wie viele Arten sich 5 Bücher in einem Regal anordnen lassen.
n bestimmen
n = 5 verschiedene Bücher — die Reihenfolge zählt, also brauchst du 5!.
Formel anwenden
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5.
Multiplizieren
1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 — es gibt 120 mögliche Regalreihenfolgen.
Die Zahl, die du erhältst, ist die Anzahl der unterschiedlichen Anordnungen von n verschiedenen Elementen — die Anzahl der Möglichkeiten, sie so aufzureihen, dass die Reihenfolge zählt. Das Erste, was auffällt, ist, wie schnell Fakultäten wachsen: 5! ist nur 120, aber 10! ist bereits 3.628.800 (über 3,6 Millionen) und 20! übersteigt 2,4 Trillionen, sodass schon ein bescheidenes n ein gewaltiges Ergebnis liefert. Die Ränder sind sauber: 0! = 1 und 1! = 1, denn es gibt genau eine Möglichkeit, nichts anzuordnen, und eine, ein einzelnes Element anzuordnen. Fakultäten sind außerdem der Baustein anderer Anzahlen — Permutationen P(n, r) = n! ÷ (n − r)! und Kombinationen C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!) bauen beide auf ihnen auf —, sodass ein Fakultätsergebnis oft ein Zwischenschritt zu einer Wahrscheinlichkeit oder einer Anzahl ist und nicht die Endzahl selbst. Lies eine große Fakultät als „so viele Anordnungen gibt es“ und denke daran, dass Werte über 170! jenseits des Bereichs üblicher Gleitkommazahlen liegen.
Die Fakultät ist exakt, doch ein paar Punkte bewahren sie vor falscher Anwendung.
Nur ganze Zahlen, 0 bis 170
Dieser Rechner berechnet n! für ganze Zahlen von 0 bis 170. Die hier definierte Fakultät hat für negative Zahlen oder Brüche keinen Wert, sodass diese kein Ergebnis liefern. Die Obergrenze von 170 ist eine Gleitkomma-Grenze, keine mathematische: 171! überschreitet den Bereich üblicher Gleitkommazahlen und wird unendlich, sodass größere Eingaben kein Ergebnis liefern statt einer sinnlosen Zahl. Für Fakultäten von Brüchen bräuchtest du die Gammafunktion, ein anderes Werkzeug.