Teileranzahl Rechner
Gib eine positive ganze Zahl ein und erfahre sofort, wie viele Teiler sie hat und wie viel sie ergeben — erkenne auf Anhieb, ob deine Zahl eine Primzahl, vollkommen oder abundant ist.
Anzahl und Summe auf einmal
Der Rechner liefert sowohl die Gesamtzahl der positiven Teiler als auch deren Summe — zwei zentrale Größen der Zahlentheorie.
Nur positive ganze Zahlen
Unterstützt werden ausschließlich ganze Zahlen ab 1. Null, negative Zahlen und Dezimalzahlen haben nach der Standarddefinition keine positiven Teiler.
Was ist ein Teiler?
Eine Zahl, die ohne Rest teilt
Ein Teiler (auch Faktor) einer positiven ganzen Zahl n ist jede positive ganze Zahl, die n ohne Rest teilt. Die Teiler von 12 sind zum Beispiel 1, 2, 3, 4, 6 und 12 — jede davon teilt 12 exakt. Das Zählen und Addieren von Teilern gehört zu den ältesten Operationen der Zahlentheorie und taucht in der Untersuchung von Primzahlen, vollkommenen Zahlen und der Kombinatorik auf. Laut Wolfram MathWorld schreibt man die Teileranzahl als τ(n) und die Teilersumme als σ(n). Dieser Rechner berechnet beide Werte aus einer einzigen Eingabe.
Gib eine beliebige positive ganze Zahl ein, um sofort die Teileranzahl τ(n) und die Teilersumme σ(n) zu erhalten — inklusive Hinweis auf Primzahlen und vollkommene Zahlen.
Um alle Teiler effizient zu finden, testet der Algorithmus jede ganze Zahl von 1 bis zur Quadratwurzel von n. Immer wenn i die Zahl n exakt teilt, sind sowohl i als auch n/i Teiler; sind sie gleich (n ist eine Quadratzahl), wird nur einer gezählt.
für i = 1 bis √n: wenn n mod i = 0, zähle i und n÷i als TeilerFür n = 360 beträgt die Quadratwurzel etwa 18,97, also läuft die Schleife von i = 1 bis 18. Jedes i, das 360 teilt, bringt sich selbst und den zugehörigen Partner 360/i als Teiler mit. Das Zählen aller 12 Paare ergibt 24 Teiler. Die Addition aller Teiler von 1 bis 360 ergibt σ(360) = 1170.
Die Teileranzahl verrät viel über die Struktur einer Zahl in der Zahlentheorie. Ein Ergebnis von genau 2 bedeutet, dass die Zahl keine Teiler außer 1 und sich selbst hat — das ist die Definition einer Primzahl. Zum Beispiel liefert 17 eine Teileranzahl von 2 und ist damit eine Primzahl. Eine Teileranzahl von 1 gilt nur für n = 1, das weder prim noch zusammengesetzt ist. Höhere Werte zeigen zusammengesetzte Zahlen mit reichhaltiger Faktorstruktur; 360 etwa ergibt 24 — ein Grund, warum diese Zahl als Anzahl der Grad im Kreis und als Basis alter Kalender gewählt wurde. Die Teilersumme ist ebenso aussagekräftig. Wenn die Summe der echten Teiler einer Zahl (alle Teiler außer der Zahl selbst) gleich der Zahl ist, heißt die Zahl vollkommen. Das klassische Beispiel ist 28: Die echten Teiler sind 1, 2, 4, 7 und 14, und 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, also ist σ(28) = 56 und 56 − 28 = 28. Übersteigt die Summe der echten Teiler die Zahl, ist sie abundant; ist sie kleiner, ist sie defizient. Diese Kategorien tauchen natürlich in der Kombinatorik, der Kryptografie und der Freizeitmathematik auf.
Der Algorithmus ist exakt, hat aber praktische Grenzen, die du kennen solltest.
Positive ganze Zahlen und Rechenzeit
Dieser Rechner zählt ausschließlich positive Teiler — 1 und die Zahl selbst sind immer eingeschlossen. Null, negative ganze Zahlen und Nicht-Ganzzahlen haben nach der Standarddefinition keine positiven Teiler und liefern kein Ergebnis. Die Eingabe ist auf 1.000.000.000 begrenzt, da der Quadratwurzel-Algorithmus für die größten Werte bis zu etwa 31.623 Kandidaten testen muss — was die Antwortzeit im Browser trotzdem sofort hält. Für größere Zahlen wäre ein Primfaktorzerlegungs-Ansatz nötig, der jedoch außerhalb des Umfangs dieses Werkzeugs liegt.