Primfaktorzerlegung Rechner
Gib eine ganze Zahl von 2 bis 1.000.000.000 ein und erhalte ihre eindeutige Primfaktorzerlegung in Exponentform — zum Beispiel 360 in 2^3 × 3^2 × 5.
Eindeutige Zerlegung
Jede ganze Zahl größer als 1 hat genau eine Primfaktorzerlegung — der Fundamentalsatz der Arithmetik garantiert das.
Nur ganze Zahlen ab 2
Die Zahl 1 hat keine Primfaktoren, und 0 sowie negative Zahlen sind ausgeschlossen. Der Rechner akzeptiert ganze Zahlen von 2 bis 1.000.000.000.
Was ist eine Primfaktorzerlegung?
Eine Zahl als Produkt von Primzahlen ausdrücken
Die Primfaktorzerlegung drückt eine ganze Zahl als Produkt von Primzahlen aus — den unteilbaren Bausteinen der Arithmetik. Eine Primzahl ist jede ganze Zahl größer als 1, die sich nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilen lässt (2, 3, 5, 7, 11, …). Jede ganze Zahl ≥ 2 lässt sich auf genau eine Weise in Primzahlen zerlegen, und diese eindeutige Kombination ist ihre Primfaktorzerlegung.
Gib eine ganze Zahl von 2 bis 1.000.000.000 ein, um ihre Primfaktoren in Exponentform zu sehen — direkt nutzbar für ggT-, kgV- oder Kryptographie-Berechnungen.
Der Rechner verwendet Probedivision: Die Zahl wird wiederholt durch Kandidaten geteilt, beginnend mit 2 und dann ungeraden Zahlen ab 3, bis das Quadrat des Divisors den verbleibenden Wert überschreitet.
n = p1^e1 × p2^e2 × … × pk^ekNehmen wir 360. Dreimaliges Teilen durch 2 (360 → 180 → 90 → 45) ergibt den Faktor 2^3. Zweimaliges Teilen von 45 durch 3 (45 → 15 → 5) ergibt 3^2. Der verbleibende Wert 5 ist eine Primzahl, also lautet die Zerlegung 2^3 × 3^2 × 5. Die Exponenten (3, 2, 1) summieren sich zu 6 — das ist die Gesamtzahl der Primfaktoren mit Vielfachheit. Der Algorithmus stoppt die Divisorprüfung, sobald d² den verbleibenden Wert übersteigt, da jeder verbleibende Wert größer als 1 selbst prim sein muss.
Die Zerlegungsschreibweise zeigt dir genau, welche Primzahlen die Zahl aufbauen und wie oft jede davon vorkommt. Eine Primzahl wie 17 oder 97 ergibt ein eingliedriges Ergebnis ohne Exponent (einfach „17" oder „97"), weil sie nicht weiter teilbar ist — die Gesamtzahl der Primfaktoren ist 1. Eine hochzusammengesetzte Zahl wie 360 ergibt mehrere Glieder mit größeren Exponenten, was zeigt, wie teilbar sie ist: Je mehr Primfaktoren eine Zahl hat, desto mehr Teiler besitzt sie insgesamt. Die Gesamtzahl der Primfaktoren (mit Vielfachheit) ist die Summe aller Exponenten. Für 360 ergibt diese Summe 3 + 2 + 1 = 6 — das bedeutet, du brauchst sechs Primzahlen multipliziert miteinander, also 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, um 360 von Grund auf aufzubauen. Diese Zahl fließt direkt in Formeln für die Anzahl der Teiler und in die Eulersche Phi-Funktion ein und ermöglicht es, verschiedene Zahlen hinsichtlich ihrer Glattheit oder Primzahlreichtums zu vergleichen.
Probedivision ist für alltägliche Zahlen schnell, hat aber praktische Grenzen.
Große Zahlen mit großen Primfaktoren verlangsamen die Probedivision
Die Probedivision prüft jeden ungeraden Kandidaten bis zur Quadratwurzel des verbleibenden Werts. Bei Zahlen nahe 1.000.000.000, die das Produkt zweier großer Primzahlen sind, durchläuft die innere Schleife zehntausende Schritte. Deshalb ist die Eingabe auf 1.000.000.000 begrenzt. Der Rechner zerlegt nur ganze Zahlen ab 2: Die Zahl 1 hat per Definition keine Primfaktoren, und 0 sowie negative Zahlen sind von der Primfaktorzerlegung ausgeschlossen.