Kombinationen Rechner
Gib die Größe deiner Menge und die Anzahl der gewählten Elemente ein und erhalte die Zahl der Möglichkeiten, sie zu wählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt — die Zahl hinter Lotterien, Ausschüssen und Kartenblättern.
Zwei Werte, eine Anzahl
Gib die Gesamtzahl der Elemente (n) und die Anzahl der gewählten (r) ein; der Rechner liefert C(n, r) mit der Formel C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!).
Reihenfolge egal
Kombinationen zählen Auswahlen, keine Anordnungen — dieselben Elemente in anderer Reihenfolge werden nur einmal gezählt.
Was ist eine Kombination?
Eine Gruppe wählen, wenn die Reihenfolge egal ist
Eine Kombination ist eine Möglichkeit, r Elemente aus einer Menge von n Elementen zu wählen, bei der die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt — die Gruppe ist dieselbe Kombination, egal wie du sie aufzählst. Die Anzahl solcher Auswahlen schreibt man C(n, r), gesprochen „n über k“, und sie ergibt sich aus der Formel C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!). Kombinationen beantworten die Frage „wie viele verschiedene Gruppen kann ich bilden“ — genau die Frage hinter Lottoquoten, Ausschusswahlen und den Blättern, die du aus einem Kartendeck erhalten kannst.
Gib deine Gesamtzahl und die Anzahl der gewählten Elemente ein, um die Zahl der Kombinationen sofort zu erhalten.
Eine Formel, gebildet aus der Mengengröße n und der Anzahl der gewählten r.
C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!)Die Fakultät n! multipliziert jede ganze Zahl von 1 bis n. Das Teilen von n! durch r! entfernt die Anordnungen innerhalb deiner gewählten Gruppe, und das Teilen durch (n − r)! entfernt die Anordnungen der zurückgelassenen Elemente — übrig bleibt die Anzahl der unterschiedlichen Gruppen. In der Praxis nutzt dieser Rechner die gleichwertige multiplikative Form, sodass selbst große Werte von n nie über ein zwischenzeitliches n! überlaufen.
Angenommen, du möchtest 3 Schülerinnen und Schüler aus einer Klasse von 10 für ein Team wählen.
n und r bestimmen
n = 10 Personen insgesamt, r = 3 gewählt — die Reihenfolge ist für ein Team egal.
Formel anwenden
C(10, 3) = 10! ÷ (3! × 7!) = 3.628.800 ÷ (6 × 5.040).
Vereinfachen
3.628.800 ÷ 30.240 = 120 — es gibt 120 mögliche Teams.
Die Zahl, die du erhältst, ist die Anzahl der unterschiedlichen Gruppen, die du bilden kannst, wobei jede Anordnung derselben Elemente nur einmal gezählt wird. Das Erste, was auffällt: Kombinationen sind immer weniger als Permutationen — weil sich jede Gruppe aus r Elementen in r! verschiedenen Reihenfolgen anordnen lässt, gilt P(n, r) = C(n, r) × r!, also sind reihenfolgenabhängige Anzahlen stets größer. Das Ergebnis ist außerdem symmetrisch — C(n, r) = C(n, n − r) —, denn die Wahl, welche r du behältst, legt automatisch fest, welche n − r du zurücklässt, sodass C(10, 3) und C(10, 7) beide 120 ergeben. Auch die Ränder sind sauber: C(n, 0) und C(n, n) sind beide 1, denn es gibt genau eine Möglichkeit, nichts zu wählen, und eine, alles zu wählen. Lies ein großes Ergebnis als lange Quote — 13.983.816 Lottokombinationen bedeuten, dass ein einzelner Schein genau diese Eins-zu-Chance hat, die Ziehung zu treffen.
Die Kombinationsformel ist exakt, doch ein paar Punkte bewahren sie vor falscher Anwendung.
Reihenfolge egal, keine Wiederholung, r ≤ n
Dieser Rechner zählt Kombinationen — Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt und jedes Element höchstens einmal gewählt wird. Spielt die Reihenfolge eine Rolle, brauchst du stattdessen Permutationen; dürfen sich Elemente wiederholen, brauchst du Kombinationen mit Wiederholung, eine andere Formel. Sowohl n als auch r müssen ganze Zahlen sein, und du kannst nicht mehr Elemente wählen, als vorhanden sind, also darf r nicht größer als n sein — sonst gibt es keine gültige Auswahl und der Rechner liefert kein Ergebnis.