Kombinationen mit Wiederholung Rechner
Gib die Anzahl der Elementtypen und die Anzahl der gewählten Elemente ein und erhalte die Zahl der unterschiedlichen Auswahlen, wenn Wiederholungen erlaubt sind und die Reihenfolge egal ist — die Formel hinter Eiskugeln, Belagkombinationen und Multimengen.
Zwei Werte, eine Anzahl
Gib die Anzahl der Elementtypen (n) und die Anzahl der gewählten (r) ein; der Rechner liefert C(n + r − 1, r) — den Multiset-Koeffizienten.
Wiederholungen erlaubt, Reihenfolge egal
Jeder Elementtyp darf mehrfach gewählt werden, und die Reihenfolge der Auswahl spielt keine Rolle — nur die endgültige Zusammensetzung zählt.
Was sind Kombinationen mit Wiederholung?
Eine Multimenge wählen, wenn die Reihenfolge egal ist
Eine Kombination mit Wiederholung (auch Multiset-Koeffizient genannt) ist eine Möglichkeit, r Elemente aus n verschiedenen Typen zu wählen, bei der derselbe Typ mehr als einmal vorkommen darf und die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt — zwei Kugeln Schokolade und eine Kugel Vanille zu wählen ist dieselbe Auswahl, egal in welcher Reihenfolge du sie aufzählst. Die Anzahl schreibt man C(n + r − 1, r) und berechnet sie als gewöhnlichen Binomialkoeffizienten mit dem oberen Argument n + r − 1. Das unterscheidet sich von den gewöhnlichen Kombinationen, bei denen jedes Element höchstens einmal gewählt werden darf, und von Permutationen, bei denen die Reihenfolge der Picks zählt.
Gib die Anzahl der Elementtypen und die Anzahl der gewählten Elemente ein, um die Zahl der Kombinationen mit Wiederholung sofort zu erhalten.
Eine Formel, abgeleitet aus dem Sterne-und-Striche-Zählargument.
C(n + r − 1, r) = (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!)Die Formel reduziert das Problem auf einen gewöhnlichen Binomialkoeffizienten: Statt r Elemente aus n Typen zu wählen, stelle dir vor, r identische Bälle in n beschriftete Kästen zu verteilen — jeder Kasten darf beliebig viele Bälle aufnehmen. Das Sterne-und-Striche-Argument zeigt, dass die Anzahl solcher Verteilungen gleich C(n + r − 1, r) ist. Der Rechner wertet diesen Wert mit der multiplikativen Methode aus, sodass auch große Eingaben exakt bleiben, ohne große Fakultäten direkt berechnen zu müssen.
Die Zahl, die du erhältst, zählt die unterschiedlichen Multimengen, die du zusammenstellen kannst — jede eindeutige Kombination aus Elementtypen und deren Häufigkeiten, unabhängig von der Reihenfolge. Einige Eigenschaften helfen dir, das Ergebnis einzuschätzen. Erstens ist das Ergebnis immer mindestens so groß wie die gewöhnliche Kombinationsanzahl C(n, r), denn das Erlauben von Wiederholungen eröffnet zusätzliche Auswahlen, die bei strikter Kombinatorik ohne Wiederholung ausgeschlossen sind. Zweitens liefert das Wählen von null Elementen immer 1, denn es gibt genau eine leere Multimenge. Drittens liefert das Wählen aus einem einzigen Typ (n = 1) ebenfalls immer 1, da die einzige Möglichkeit darin besteht, r Kopien dieses einen Typs zu nehmen. Ein sehr großes Ergebnis spiegelt die kombinatorische Explosion wider, die mit freier Wiederholung einhergeht — 10 Elemente aus 10 Typen mit Wiederholung ergeben 92.378 verschiedene Multimengen, weit mehr als die 252, die man ohne Wiederholung erhält.
Der Multiset-Koeffizient ist exakt, aber einige Bedingungen müssen erfüllt sein, damit er anwendbar ist.
Unbegrenzter Vorrat, Reihenfolge irrelevant, n ≥ 1
Dieser Rechner setzt voraus, dass jeder Elementtyp in unbegrenzter Menge verfügbar ist — du kannst denselben Typ so oft wählen, wie du möchtest. Wenn jedes physische Exemplar nur einmal gewählt werden darf, nutze stattdessen den gewöhnlichen Kombinationen-Rechner. Die Formel zählt außerdem nur ungeordnete Auswahlen: Wenn die Reihenfolge zählt, verwende einen Permutationen-Rechner. Schließlich muss n mindestens 1 sein und r eine nicht-negative ganze Zahl; der Rechner liefert kein Ergebnis für Eingaben außerhalb dieser Grenzen.