Binomialverteilung Rechner
Gib die Anzahl der Versuche, die gewünschte Anzahl an Erfolgen und die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch ein, um die exakte Chance zu erhalten — die Zahl hinter Münzwürfen, Freiwürfen und Qualitätsprüfungen.
Drei Werte, eine Wahrscheinlichkeit
Gib die Versuche (n), die Erfolge (k) und die Wahrscheinlichkeit pro Versuch (p) ein; der Rechner liefert P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)^(n − k).
Genau k Erfolge
Das Ergebnis ist die Chance auf genau k Erfolge — nicht mindestens k. Für Bereiche addierst du die Einzelwahrscheinlichkeiten.
Was ist die Binomialwahrscheinlichkeit?
Die Chance auf genau k Erfolge in n Versuchen
Der Binomialverteilung-Rechner ermittelt die Chance, genau k Erfolge in n unabhängigen Versuchen zu erhalten, wobei jeder Versuch dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit p hat. Jeder Versuch ist ein Ja/Nein-Experiment — eine Münze zeigt Kopf oder Zahl, ein Freiwurf trifft oder nicht, ein Teil besteht oder fällt durch — und die Binomialformel zählt, wie die Erfolge fallen können. Sie beantwortet Fragen wie „Wie hoch ist die Chance auf genau 5 Mal Kopf bei 10 Münzwürfen?" mit einer einzigen Zahl zwischen 0 und 1, die du auch als Prozentwert lesen kannst.
Gib deine Versuche, Erfolge und die Wahrscheinlichkeit pro Versuch ein, um die exakte Binomialwahrscheinlichkeit sofort zu erhalten.
Eine Formel verbindet die Anzahl der möglichen Reihenfolgen der Erfolge mit der Wahrscheinlichkeit jeder einzelnen Anordnung.
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)^(n − k)Der Binomialkoeffizient C(n, k) zählt, wie viele verschiedene Reihenfolgen genau k Erfolge ergeben. Der Term pᵏ ist die Chance, dass diese k Erfolge alle eintreten, und (1 − p)^(n − k) ist die Chance, dass die übrigen n − k Versuche alle scheitern. Das Produkt der drei ergibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge in beliebiger Reihenfolge. Verwende für p eine Zahl zwischen 0 und 1 und ganze Zahlen für n und k, wobei k nicht größer als n sein darf.
Angenommen, du wirfst eine faire Münze 10 Mal und willst die Chance auf genau 5 Mal Kopf.
Reihenfolgen zählen
C(10, 5) = 252 — die Anzahl der Wege, wie 5 Mal Kopf auf 10 Würfe fallen.
Versuchswahrscheinlichkeiten multiplizieren
0,5⁵ × 0,5⁵ = 0,5¹⁰ = 0,000977 — die Chance auf eine bestimmte Reihenfolge.
Zusammenführen
252 × 0,000977 = 0,246094, also etwa 24,6 % — die Chance auf genau 5 Mal Kopf.
Die Zahl, die du erhältst, ist die Wahrscheinlichkeit für genau deine gewählte Anzahl an Erfolgen, angegeben als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 und als Prozentwert. Beachte, dass dies nur ein Ausschnitt der gesamten Verteilung ist: Würdest du die Wahrscheinlichkeit über jede mögliche Anzahl von 0 bis n summieren, käme genau 1 heraus, denn eine dieser Anzahlen muss eintreten. Das erklärt auch, warum der wahrscheinlichste Einzelausgang — nahe n × p Erfolge — selbst bei einer fairen Münze selten über 25 % liegt: Die Wahrscheinlichkeit verteilt sich auf viele mögliche Anzahlen. Für „mindestens k" oder „höchstens k" addierst du die einzelnen P(X = k)-Werte über den Bereich, der dich interessiert. Und denk daran: Das Ergebnis gilt nur, wenn die Versuche wirklich unabhängig sind und p konstant bleibt — eine Serie getroffener Freiwürfe, die das Selbstvertrauen einer Spielerin verändert, würde diese Annahme brechen.
Die Binomialformel ist exakt, doch sie beruht auf Annahmen, die tatsächlich gelten müssen.
Feste Versuche, konstantes p, Unabhängigkeit, k ≤ n
Dieser Rechner setzt eine feste Zahl unabhängiger Versuche voraus, zwei Ausgänge pro Versuch und dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit p in jedem Versuch. Beeinflussen sich die Versuche gegenseitig oder driftet p zwischen den Versuchen, passt das Binomialmodell nicht mehr — und Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Gruppe braucht stattdessen die hypergeometrische Verteilung. Sowohl n als auch k müssen ganze Zahlen mit k nicht größer als n sein, und p muss zwischen 0 und 1 liegen, sonst liefert der Rechner kein Ergebnis.