Vereinigung von Wahrscheinlichkeiten Rechner
Gib die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses und ihrer Überschneidung ein, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dass mindestens eines eintritt — P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
Der Additionssatz, für dich erledigt
Gib P(A), P(B) und P(A∩B) ein und der Rechner liefert P(A∪B) — die Chance, dass Ereignis A oder Ereignis B (oder beide) eintritt.
Werte von 0 bis 1 verwenden
Jede Wahrscheinlichkeit muss zwischen 0 und 1 liegen, und die Überschneidung P(A∩B) darf nicht größer sein als eines der beiden Einzelereignisse.
Was ist die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung?
Die Chance, dass A oder B eintritt
Der Wahrscheinlichkeit-Vereinigung-Rechner beantwortet eine häufige Frage: Wie groß ist die Chance, dass mindestens eines von zwei Ereignissen eintritt? In Mengenschreibweise ist das P(A∪B), gelesen als „Wahrscheinlichkeit von A vereinigt B“ oder einfach P(A oder B). Der Additionssatz besagt, dass du die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten addierst und dann ihre Überschneidung abziehst, denn alles, was zu A und zu B gehört, würde sonst doppelt gezählt. Gib die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, die von Ereignis B und die Wahrscheinlichkeit, dass beide zugleich eintreten, ein, und der Rechner liefert die Vereinigung im Bereich 0 bis 1.
Gib P(A), P(B) und die Überschneidung P(A∩B) ein, jeweils zwischen 0 und 1, um sofort die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dass A oder B eintritt.
Die Vereinigung zweier Ereignisse ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten minus der Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten — die Überschneidung wird abgezogen, damit sie nicht doppelt gezählt wird.
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)Würdest du einfach P(A) und P(B) addieren, wäre der Bereich, in dem beide Ereignisse eintreten, in jedem Term enthalten und damit doppelt gezählt. Das Abziehen von P(A∩B) entfernt diese Doppelzählung genau einmal und lässt die wahre Wahrscheinlichkeit des kombinierten Ereignisses übrig.
Angenommen, Ereignis A hat die Wahrscheinlichkeit 0,5, Ereignis B die Wahrscheinlichkeit 0,4 und die Chance, dass beide eintreten, beträgt 0,2.
Die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren
0,5 + 0,4 = 0,9 — das zählt die Überschneidung jedoch doppelt.
Die Überschneidung abziehen
0,9 − 0,2 = 0,7 — die doppelt gezählte Schnittmenge wird entfernt.
Das Ergebnis ablesen
P(A∪B) = 0,7, also besteht eine Chance von 70 %, dass A oder B (oder beide) eintritt.
Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt, ausgedrückt als Zahl zwischen 0 und 1 (multipliziere mit 100 für einen Prozentwert). Der Grund, warum du die Überschneidung abziehst, ist der Kern des Additionssatzes: Wenn beide Ereignisse gleichzeitig eintreten können, liegen die Fälle, in denen beide auftreten, sowohl in Ereignis A als auch in Ereignis B, sodass das Addieren der beiden Wahrscheinlichkeiten sie doppelt zählt. Das Abziehen von P(A∩B) korrigiert das genau einmal. Sind die beiden Ereignisse unvereinbar — sie können nicht beide eintreten —, ist die Überschneidung null, P(A∩B) = 0, und die Vereinigung wird zur einfachen Summe P(A) + P(B). Deshalb addieren sich zwei Ergebnisse eines einzigen Würfelwurfs, die nie gleichzeitig auftreten können, einfach. Je größer die Überschneidung zweier Ereignisse, desto kleiner ist ihre Vereinigung im Vergleich zur reinen Summe, weil mehr ihrer Wahrscheinlichkeit geteilt statt zusätzlich ist.
Der Additionssatz ist exakt, doch die Eingaben müssen gültige Wahrscheinlichkeiten sein, die ein konsistentes Ereignispaar beschreiben.
Eingaben müssen konsistente Wahrscheinlichkeiten sein
Jede Eingabe muss eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 sein. Die Überschneidung P(A∩B) darf kein Einzelereignis übersteigen, denn eine Schnittmenge kann nie wahrscheinlicher sein als die Ereignisse, in denen sie liegt, und die resultierende Vereinigung darf 1 nicht überschreiten. Gibst du Werte ein, die diese Regeln verletzen, liefert der Rechner kein Ergebnis — prüfe, ob P(A∩B) höchstens dem kleineren Wert von P(A) und P(B) entspricht und ob sich die Ereignisse wirklich auf dasselbe Experiment beziehen.