Satz von Bayes Rechner
Gib einen Prior P(A) und die beiden Likelihoods P(B|A) und P(B|¬A) ein, um deine Annahme zur Posterior-Wahrscheinlichkeit P(A|B) zu aktualisieren — und sieh, wie die Basisrate das Ergebnis prägt.
Vom Prior zum Posterior in einem Schritt
Gib den Prior und die beiden Likelihoods ein und dieser Satz-von-Bayes-Rechner liefert die Posterior-Wahrscheinlichkeit P(A|B), als Dezimalzahl und als Prozentwert.
Wahrscheinlichkeiten 0–1 verwenden
Jede Eingabe ist eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 — schreibe eine Chance von 1 % als 0,01, nicht als 1, damit die Formel gültig bleibt.
Was ist der Satz von Bayes?
Annahmen mit Evidenz aktualisieren
Dieser Satz-von-Bayes-Rechner macht aus einer Prior-Wahrscheinlichkeit eine Posterior-Wahrscheinlichkeit, sobald du Evidenz hast. Der Satz von Bayes ist die Regel der Wahrscheinlichkeitstheorie, die dir sagt, wie du deine Annahme über eine Hypothese A nach der Beobachtung einer Evidenz B überarbeitest. Er verbindet drei Zahlen — den Prior P(A), wie wahrscheinlich die Evidenz ist, wenn A wahr ist P(B|A), und wie wahrscheinlich sie ist, wenn A falsch ist P(B|¬A) — zu einer einzigen aktualisierten Wahrscheinlichkeit P(A|B). Das ist der Motor hinter Spamfiltern, diagnostischem Denken und jeder Situation, in der ein Test oder Signal eine zugrunde liegende Chance aktualisiert.
Gib einen Prior P(A) und die beiden Likelihoods P(B|A) und P(B|¬A) ein, um sofort die Posterior-Wahrscheinlichkeit P(A|B) zu erhalten.
Die Posterior ist der mit der Likelihood gewichtete Prior, geteilt durch die Gesamtwahrscheinlichkeit der Evidenz über beide Hypothesen.
P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / [P(B|A) × P(A) + P(B|¬A) × (1 − P(A))]Der Nenner ist der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: Er addiert die Chance, die Evidenz zu sehen, wenn A wahr ist, zu der Chance, sie zu sehen, wenn A falsch ist. Das Komplement des Priors, 1 − P(A), gewichtet den Falsch-positiv-Term. Da alle Eingaben Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1 sind, ist auch die Posterior stets eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1.
Angenommen, die Hypothese A hat eine Prior-Wahrscheinlichkeit von 0,01, die Evidenz tritt mit Wahrscheinlichkeit 0,9 auf, wenn A wahr ist, und mit Wahrscheinlichkeit 0,05, wenn A falsch ist.
Prior mit der Likelihood gewichten
0,9 × 0,01 = 0,009 — die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von A und der Evidenz.
Falsch-positiv-Term addieren
0,05 × (1 − 0,01) = 0,0495 — die Evidenz, wenn A falsch ist, gewichtet mit dem Komplement 0,99. Die Gesamtwahrscheinlichkeit der Evidenz ist 0,009 + 0,0495 = 0,0585.
Teilen, um die Posterior zu erhalten
0,009 ÷ 0,0585 ≈ 0,153846 — die Posterior P(A|B), etwa 15,4 %.
Die überraschendste Eigenschaft des Satzes von Bayes ist der Basisraten-Effekt. Im Beispiel ist die Evidenz ziemlich stark — sie tritt zu 90 % auf, wenn A wahr ist, und nur zu 5 %, wenn A falsch ist —, doch die Posterior beträgt nur 15,4 %, nicht annähernd 90 %. Der Grund ist der kleine Prior: A ist anfangs selten (1 %), sodass die große Gruppe, in der A falsch ist, den Großteil der positiven Evidenz erzeugt, einfach weil sie so viel größer ist. Ein höherer Prior lässt die Posterior steil steigen: Mit denselben Likelihoods ergibt ein Prior von 0,1 eine Posterior nahe 0,31, und ein Prior von 0,5 ergibt 0,9. Deshalb klärt ein einzelnes starkes Signal eine Frage über ein seltenes Ereignis selten endgültig, und deshalb zählt die zugrunde liegende Basisrate genauso viel wie die Stärke der Evidenz. Die Posterior zusammen mit ihrer Prozentform zu lesen, macht die Aktualisierung leicht vermittelbar.
Die Formel ist exakt, doch ihr Ergebnis ist nur so gut wie die drei Wahrscheinlichkeiten, die du ihr gibst.
Eingaben sind Wahrscheinlichkeiten und beide Likelihoods müssen bekannt sein
Jede Eingabe muss eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 sein, gib eine Chance von 1 % also als 0,01 ein, nicht als 1. Die Rechnung setzt voraus, dass du beide Likelihoods — P(B|A) und P(B|¬A) — kennst und dass A und sein Komplement jeden Fall abdecken. Ist die Evidenz unter beiden Hypothesen unmöglich, ist der Nenner null und die Posterior nicht definiert. Das Ergebnis ist eine abstrakte Aktualisierung einer Wahrscheinlichkeit, kein Rat für eine konkrete Entscheidung.