Z-Wert Rechner
Gib einen Rohwert, den Mittelwert und die Standardabweichung ein und erhalte den Z-Wert — die eine Zahl, die sagt, wie weit ein Wert vom Durchschnitt entfernt ist, gemessen in Standardabweichungen.
Drei Zahlen rein, ein Z-Wert raus
Gib den Rohwert, den Mittelwert und die Standardabweichung ein und der Rechner liefert den Z-Wert, z = (x − μ) ÷ σ.
Gleiche Skala zählt
Wert, Mittelwert und Standardabweichung müssen von derselben Skala stammen — gemischte Einheiten ergeben einen sinnlosen Z-Wert.
Was ist ein Z-Wert?
Abstand vom Mittelwert, in Standardabweichungen
Ein Z-Wert, auch Standardwert genannt, drückt aus, wie weit ein einzelner Wert vom Mittelwert seiner Verteilung entfernt liegt — nicht in Roheinheiten, sondern in Standardabweichungen. Ein Z-Wert von 2 bedeutet, dass der Wert zwei Standardabweichungen über dem Durchschnitt liegt; ein Z-Wert von −1 bedeutet eine Standardabweichung darunter. Weil sich die ursprünglichen Einheiten herauskürzen, stellt der Z-Wert sehr unterschiedliche Messungen auf eine gemeinsame Grundlage: Du kannst ein Testergebnis, eine Körpergröße und eine Reaktionszeit direkt vergleichen, sobald jede in einen Z-Wert umgerechnet ist. Damit ist der Z-Wert das Arbeitspferd der Statistik, um Ausreißer zu finden, Daten zu standardisieren und Wahrscheinlichkeiten an der Normalverteilung abzulesen.
Gib den Rohwert, den Mittelwert und die Standardabweichung ein, um den Z-Wert sofort zu erhalten.
Eine kurze Formel: Ziehe den Mittelwert ab und teile dann durch die Standardabweichung.
z = (x − μ) ÷ σDabei ist x der Rohwert, der griechische Buchstabe μ (mü) der Mittelwert und σ (Sigma) die Standardabweichung. Der Zähler (x − μ) ist der rohe Abstand vom Mittelwert, und die Division durch σ rechnet diesen Abstand in Einheiten der Standardabweichung um. Die Standardabweichung muss größer als null sein, sonst würde die Formel durch null teilen. Ein Wert genau auf dem Mittelwert ergibt einen Z-Wert von 0.
Angenommen, ein Wert von 85 stammt aus einer Verteilung mit einem Mittelwert von 75 und einer Standardabweichung von 5.
Wert, Mittelwert und Streuung notieren
Der Rohwert ist 85, der Mittelwert 75 und die Standardabweichung 5 — alle auf derselben Skala.
Mittelwert abziehen
85 − 75 = 10 — der rohe Abstand über dem Mittelwert.
Durch die Standardabweichung teilen
10 ÷ 5 = 2 — der Wert liegt zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert.
Der eine Z-Wert trägt viel Bedeutung, sobald du weißt, wie du ihn liest. Das Vorzeichen zeigt die Richtung: Ein Z-Wert von 0 ist genau der Durchschnitt, ein positiver Z-Wert liegt über dem Mittelwert und ein negativer darunter — −1,5 sind also eineinhalb Standardabweichungen unter dem Durchschnitt. Die Größe zeigt, wie ungewöhnlich der Wert ist. In einer annähernd normalverteilten Stichprobe liegen etwa 68 % der Werte innerhalb von ±1, etwa 95 % innerhalb von ±2 und etwa 99,7 % innerhalb von ±3. Ein Wert mit einem Z-Wert nahe 0 ist also völlig gewöhnlich, während einer jenseits von etwa ±3 selten ist — weniger als 1 von 300 Werten reicht so weit. In vielen Bereichen gilt ein Z-Wert jenseits von ±2 als auffällig und jenseits von ±3 als wahrscheinlicher Ausreißer, der einen zweiten Blick verdient. Weil Z-Werte die ursprünglichen Einheiten herausrechnen, kannst du auch über Skalen hinweg vergleichen: Wer in Mathe +1,8, aber im Lesen −0,4 erreicht, ist im Vergleich zu Gleichaltrigen klar stärker in Mathe, obwohl beide Tests völlig verschiedene Punktsysteme nutzen. Beurteile einen Z-Wert immer anhand der Form deiner Daten — die obigen Prozentregeln gelten nur dann eng, wenn die Verteilung nahe an einer Normalverteilung ist.
Die Formel ist exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Gleiche Skala, gültige Streuung und eine nahezu normale Form
Ein Z-Wert ist nur sinnvoll, wenn Wert, Mittelwert und Standardabweichung aus derselben Verteilung und von derselben Skala stammen — niemals Einheiten mischen. Die Standardabweichung muss größer als null sein, denn eine Streuung von null bedeutet, dass alle Werte identisch sind und kein Z-Wert definiert ist. Die vertrauten 68–95–99,7-Prozentregeln gelten nur, wenn die Daten annähernd normal sind; bei schiefen oder schwerschwänzigen Verteilungen kann ein bestimmter Z-Wert weit häufiger oder seltener sein, als die Normalkurve vermuten lässt — nutze ihn also als Richtwert, nicht als Garantie.