Abstand zwischen zwei Punkten
Gib zwei Koordinatenpaare ein und erhalte den geradlinigen Abstand zwischen ihnen — dazu die waagerechte und senkrechte Kathete, die das rechtwinklige Dreieck bilden.
Die Abstandsformel
Abstand = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²) — der Satz des Pythagoras auf Koordinaten angewendet. Gib vier Zahlen ein, lies den geradlinigen Abstand ab.
Reihenfolge egal
Der Weg von Punkt A nach B ergibt denselben Abstand wie von B nach A — jede Differenz wird quadriert, das Vorzeichen fällt also weg.
Was ist der Abstand zwischen zwei Punkten?
Die gerade Linie auf einer flachen Ebene
Der Abstand zwischen zwei Punkten ist die Länge der geraden Linie, die sie verbindet — der kürzeste Weg über eine flache Ebene. Bei einem ersten Punkt (x1, y1) und einem zweiten Punkt (x2, y2) findest du ihn mit der Abstandsformel: Abstand = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²). Das ist einfach der Satz des Pythagoras für Koordinaten geschrieben. Das Ergebnis ist der „euklidische“ Abstand, die alltägliche Vorstellung davon, wie weit zwei Stellen voneinander entfernt sind — ob Pixel auf einem Bildschirm, Städte auf einer Karte oder Figuren in einer Spielwelt.
Gib die vier Koordinaten ein und der Rechner liefert sofort den Abstand sowie Δx und Δy — die waagerechte und senkrechte Kathete.
Die Formel hat drei kurze Schritte, gebildet aus den beiden Koordinatenpaaren.
Abstand = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²)Nimm zuerst den waagerechten Abstand Δx = x2 − x1 und den senkrechten Abstand Δy = y2 − y1. Quadriere jeden davon — das Quadrieren macht den Wert auch positiv, sodass die Reihenfolge der Punkte das Ergebnis nie verändert. Addiere die beiden Quadrate und ziehe dann die Wurzel. Diese Wurzel ist der Abstand, die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten Δx und Δy sind.
Angenommen, der erste Punkt ist (0, 0) und der zweite ist (3, 4).
Waagerechte Kathete (Δx)
3 − 0 = 3 — die Strecke von links nach rechts.
Senkrechte Kathete (Δy)
4 − 0 = 4 — die Strecke von oben nach unten.
Abstand
√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 — der geradlinige Abstand.
Das Hauptergebnis ist der geradlinige, also „euklidische“ Abstand — die Länge einer straff gespannten Schnur direkt zwischen den beiden Punkten, kein Weg, der Straßen oder Gitterlinien folgt. Die beiden ergänzenden Zahlen, Δx und Δy, sind die waagerechte und senkrechte Kathete des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse dieser Abstand ist: Δx sagt dir, wie weit die Punkte von links nach rechts auseinanderliegen, und Δy, wie weit von oben nach unten. Zusammen erklären sie, warum der Abstand so groß ist. Weil jede Kathete vor dem Addieren quadriert wird, spielt die Reihenfolge der Punkte keine Rolle — tauschst du sie, kehrt sich das Vorzeichen von Δx und Δy um, doch Δx², Δy² und der Abstand bleiben gleich. Sind die beiden Punkte identisch, sind beide Katheten null und der Abstand ist null. Diese eine Idee steckt hinter sehr vielen echten Aufgaben: dem Messen von Strecken auf Karten, Bildschirmen und Bauplänen, der Prüfung, wie nah zwei Objekte in der Spieleentwicklung sind, der Trefferprüfung in der Grafik und den Nächste-Nachbarn-Vergleichen, die im Kern vieler Datenaufgaben stecken.
Die Formel ist exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Flache Ebene und einheitliche Einheiten
Dies ist der geradlinige Abstand auf einer flachen, zweidimensionalen Ebene. Es ist weder die Fahrstrecke entlang von Straßen noch die Großkreisdistanz über die gekrümmte Erdoberfläche, und eine dritte Dimension wird ignoriert. Die Koordinaten sind außerdem einheitenunabhängig, das Ergebnis ist also nur dann sinnvoll, wenn beide Punkte dieselbe Einheit und denselben Maßstab verwenden — mischst du Meter mit Pixeln oder ist eine Achse gegenüber der anderen gestreckt, ergibt der Abstand keinen Sinn.