Abstand Punkt Gerade
Gib die Geradenkoeffizienten a, b, c und einen Punkt (x0, y0) ein, um den kürzesten, senkrechten Abstand vom Punkt zur Geraden zu erhalten.
Der kürzeste Abstand
Der Abstand-Punkt-Gerade-Rechner liefert den senkrechten Abstand — die kürzeste gerade Strecke vom Punkt zur Geraden, gemessen im rechten Winkel.
Allgemeine Form
Schreibe die Gerade als a·x + b·y + c = 0. Eine Gerade y = mx + k wird zu m·x − y + k = 0, also a = m, b = −1, c = k.
Was ist der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden?
Ein Lot, das auf die Gerade fällt
Der Abstand-Punkt-Gerade-Rechner findet, wie weit ein Punkt von einer Geraden entfernt liegt — genauer den senkrechten Abstand, die Länge der kürzesten Strecke, die du vom Punkt zur Geraden ziehen kannst. Diese kürzeste Strecke trifft die Gerade stets im rechten Winkel, weshalb jeder andere Weg zur Geraden länger ist. Du beschreibst die Gerade in der allgemeinen Form a·x + b·y + c = 0 mit drei Koeffizienten und den Punkt mit seinen Koordinaten (x0, y0). Das Ergebnis ist eine einzelne nicht-negative Zahl in denselben Einheiten wie deine Koordinaten. Es ist der Wert hinter Abstandsprüfungen, Kollisionsabständen in Grafik und Robotik und den Residuen, die eine Ausgleichsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate möglichst klein hält.
Gib die drei Geradenkoeffizienten a, b, c und die Punktkoordinaten x0 und y0 ein, um sofort den senkrechten Abstand zu erhalten.
Setze den Punkt in die linke Seite der Geradengleichung ein, mache sie positiv und teile durch die Länge des Koeffizientenvektors (a, b).
d = |a·x0 + b·y0 + c| / √(a² + b²)Der Zähler ist der Betrag von a·x0 + b·y0 + c — setze den Punkt in die Geradengleichung ein und lasse das Vorzeichen weg, da ein Abstand nie negativ ist. Der Nenner √(a² + b²) normiert mit der Länge des Vektors (a, b), der senkrecht zur Geraden steht. Teile beides und du hast den senkrechten Abstand.
Angenommen, die Gerade ist 3x + 4y − 5 = 0 und der Punkt ist der Ursprung (0, 0).
Punkt in die Gerade einsetzen
3·0 + 4·0 − 5 = −5 — der vorzeichenbehaftete Wert am Punkt.
Den Betrag nehmen
Der Betrag von −5 ist 5 — der Zähler, denn ein Abstand hat kein Vorzeichen.
Durch die Vektorlänge teilen
√(3² + 4²) = √25 = 5, also ist der Abstand 5 ÷ 5 = 1 Einheit.
Die Zahl, die du erhältst, ist der senkrechte Abstand — der kürzestmögliche Abstand zwischen Punkt und Gerade, stets im rechten Winkel zur Geraden gemessen. Er wird als nicht-negativer Wert angegeben: Ein Abstand von 0 bedeutet, dass der Punkt genau auf der Geraden liegt, und jede positive Zahl sagt dir, wie weit er entfernt ist, in denselben Einheiten wie deine Koordinaten. Das Ergebnis verrät nicht, auf welcher Seite der Geraden der Punkt liegt; brauchst du auch die Seite, sieh dir das Vorzeichen von a·x0 + b·y0 + c an, bevor du den Betrag nimmst. Das Skalieren der Gleichung ändert das Ergebnis nicht — die Gerade 3x + 4y − 5 = 0 und 6x + 8y − 10 = 0 sind dieselbe Gerade und liefern denselben Abstand, weil der Nenner √(a² + b²) im Gleichschritt mit dem Zähler wächst. Genau diese Invarianz macht die Formel zum natürlichen Maß dafür, wie gut eine Ausgleichsgerade zu verstreuten Punkten passt.
Die Formel ist exakt, doch ein paar Bedingungen müssen erfüllt sein.
Allgemeine Form, ein nicht-negatives Ergebnis und eine echte Gerade
Dieser Rechner erwartet die Gerade in der allgemeinen Form a·x + b·y + c = 0. Der zurückgegebene Abstand ist immer größer oder gleich null — es ist der senkrechte, vorzeichenlose Abstand, keine Lage relativ zur Geraden. Die Koeffizienten a und b dürfen nicht beide null sein: Dann bleibt keine echte Gerade und der Nenner √(a² + b²) wird null, sodass die Berechnung undefiniert ist. Wandle eine Gerade y = mx + k zuerst in die allgemeine Form um, mit a = m, b = −1, c = k.