Abstand-3D- Rechner
Gib zwei Punkte im Raum ein und erhalte den geradlinigen Abstand zwischen ihnen — dazu die drei Achsenstrecken Δx, Δy und Δz, die die Raumdiagonale eines Quaders bilden.
Die 3D-Abstandsformel
Abstand = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)² + (z2 − z1)²) — der Satz des Pythagoras auf drei Achsen erweitert. Gib sechs Zahlen ein, lies den geradlinigen Abstand ab.
Reihenfolge egal
Der Weg von Punkt A nach B ergibt denselben Abstand wie von B nach A — jede Differenz wird quadriert, das Vorzeichen fällt also weg.
Was ist der Abstand zwischen zwei Punkten im Raum?
Die gerade Linie durch drei Dimensionen
Ein Abstand-3D-Rechner ermittelt die Länge der geraden Linie, die zwei Punkte im Raum verbindet — der kürzeste Weg zwischen ihnen durch drei Dimensionen. Bei einem ersten Punkt (x1, y1, z1) und einem zweiten Punkt (x2, y2, z2) findest du ihn, indem du die Abstandsformel um einen dritten Term erweiterst: Abstand = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)² + (z2 − z1)²). Das ist der Satz des Pythagoras über alle drei Achsen angewendet. Das Ergebnis ist der „euklidische“ Abstand, die alltägliche Vorstellung davon, wie weit zwei Stellen voneinander entfernt sind — ob Objekte in einer Spielwelt, Punkte auf einem 3D-Modell oder Atome in einem Molekül.
Gib die sechs Koordinaten ein und der Rechner liefert sofort den Abstand sowie Δx, Δy und Δz — die drei Achsenstrecken.
Die Formel hat ein paar kurze Schritte, gebildet aus den beiden Koordinatentripeln.
Abstand = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)² + (z2 − z1)²)Nimm zuerst die drei Differenzen Δx = x2 − x1, Δy = y2 − y1 und Δz = z2 − z1. Quadriere jede davon — das Quadrieren macht den Wert auch positiv, sodass die Reihenfolge der Punkte das Ergebnis nie verändert. Addiere die drei Quadrate und ziehe dann die Wurzel. Diese Wurzel ist der Abstand, die Raumdiagonale des Quaders, dessen Kanten Δx, Δy und Δz sind.
Angenommen, der erste Punkt ist (0, 0, 0) und der zweite ist (1, 2, 2).
Achsenstrecken (Δx, Δy, Δz)
1 − 0 = 1, 2 − 0 = 2 und 2 − 0 = 2 — die Differenzen entlang jeder Achse.
Quadrieren und addieren
1² + 2² + 2² = 1 + 4 + 4 = 9 — die Summe der quadrierten Strecken.
Abstand
√9 = 3 — der geradlinige Abstand durch den Raum.
Das Hauptergebnis ist der geradlinige, also „euklidische“ Abstand — die Länge einer straff gespannten Schnur direkt zwischen den beiden Punkten im Raum, kein Weg, der Gitterlinien oder Oberflächen folgt. Die drei ergänzenden Zahlen, Δx, Δy und Δz, sind die Achsenstrecken des Quaders, dessen Raumdiagonale dieser Abstand ist: Jede sagt dir, wie weit die Punkte entlang einer Achse auseinanderliegen. Zusammen erklären sie, warum der Abstand so groß ist. Weil jede Strecke vor dem Addieren quadriert wird, spielt die Reihenfolge der Punkte keine Rolle — tauschst du sie, kehren sich die Vorzeichen der Strecken um, doch ihre Quadrate und damit der Abstand bleiben gleich. Sind die beiden Punkte identisch, sind alle drei Strecken null und der Abstand ist null. Diese eine Idee steckt hinter sehr vielen echten Aufgaben: dem Messen von Abständen zwischen Objekten in der 3D-Modellierung und im CAD, Kollisions- und Nähe-Prüfungen in der Spieleentwicklung, dem Abstand zwischen Atomen in der Molekülchemie und Nächste-Nachbarn-Vergleichen bei dreidimensionalen Daten.
Die Formel ist exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Flacher Raum und einheitliche Einheiten
Dies ist der geradlinige Abstand durch den flachen, dreidimensionalen Raum. Es ist weder die Fahrstrecke entlang von Straßen noch die Großkreisdistanz über die gekrümmte Erdoberfläche. Die Koordinaten sind außerdem einheitenunabhängig, das Ergebnis ist also nur dann sinnvoll, wenn beide Punkte dieselbe Einheit und denselben Maßstab verwenden — mischst du Meter mit Pixeln oder ist eine Achse gegenüber einer anderen gestreckt, ergibt der Abstand keinen Sinn.