Satz des Pythagoras Rechner
Gib die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks ein und erhalte die Hypotenuse √(a² + b²) sowie Fläche und Umfang.
Die Hypotenuse ist die längste Seite
Sie liegt stets dem rechten Winkel gegenüber und ist länger als jede der beiden Katheten, die du eingibst.
Nur rechtwinklige Dreiecke
Der Satz gilt nur, wenn die beiden Katheten exakt im 90°-Winkel zusammentreffen. Andere Dreiecke brauchen den Kosinussatz.
Was ist der Satz des Pythagoras?
Die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist: a² + b² = c². Die beiden kürzeren Seiten, die am rechten Winkel zusammentreffen, sind die Katheten a und b; die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse c. Nach der längsten Seite aufgelöst ergibt sich c = √(a² + b²). Diese eine Beziehung lässt dich die Diagonale eines Dreiecks aus zwei senkrechten Maßen bestimmen — deshalb steckt sie hinter allem von Bildschirmgrößen bis zu rechtwinkligen Bauecken.
Gib Kathete a und Kathete b in beliebiger Einheit ein, und du erhältst Hypotenuse, Fläche und Umfang auf einen Schlag.
Quadriere jede Kathete, addiere die Quadrate und ziehe die Wurzel, um die Hypotenuse zu erhalten. Fläche und Umfang folgen direkt aus den Katheten und dieser Hypotenuse.
c = √(a² + b²)Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche das halbe Produkt der beiden Katheten, (a × b) ÷ 2, denn die Katheten sind selbst Grundseite und Höhe. Der Umfang ist einfach die Summe aller drei Seiten: a + b + c. Bei Katheten von 3 und 4 ergibt das eine Fläche von 6 und einen Umfang von 12.
Nimm das klassische 3-4-5-Dreieck mit Katheten von 3 und 4 Einheiten.
Katheten quadrieren
3² = 9 und 4² = 16, sodass die Summe der Quadrate 9 + 16 = 25 beträgt.
Die Wurzel ziehen
√25 = 5, also ist die Hypotenuse genau 5 Einheiten lang.
Fläche und Umfang
Fläche = (3 × 4) ÷ 2 = 6, und Umfang = 3 + 4 + 5 = 12 Einheiten.
Die Hypotenuse ist immer die längste der drei Seiten, also kannst du schnell prüfen: Dein Ergebnis sollte größer als beide Katheten, aber kleiner als deren Summe sein. Sind die beiden Katheten gleich lang, erhältst du ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck, und die Hypotenuse ist genau das √2-Fache (etwa 1,414) einer Kathete — ein Dreieck aus 1 und 1 hat eine Hypotenuse von rund 1,414. Achte auf pythagoreische Tripel, ganzzahlige Sätze wie 3-4-5, 5-12-13 und 8-15-17, bei denen die Hypotenuse perfekt glatt herauskommt; ihre Vielfachen, etwa 6-8-10, sind ebenfalls Tripel. Fläche und Umfang ordnen dasselbe Dreieck ein: Die Fläche nennt dir den eingeschlossenen Raum, während der Umfang die gesamte Strecke um alle drei Seiten ist.
Die Formel ist exakt, gilt aber nur für eine einzige Form.
Nur für rechtwinklige Dreiecke gültig
Der Satz setzt voraus, dass die beiden Katheten in einem genauen 90°-Winkel zusammentreffen. Hat dein Dreieck keinen rechten Winkel, beschreibt c = √(a² + b²) keine echte Seite, und du brauchst stattdessen den Kosinussatz. Das Ergebnis ist einheitsunabhängig — gib beide Katheten in derselben Einheit ein (cm, Zoll, Meter), und Hypotenuse, Fläche und Umfang kommen in dieser Einheit beziehungsweise ihrem Quadrat zurück.