Kosinussatz Rechner
Gib zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen ein, um die dritte Seite eines beliebigen Dreiecks zu finden — der Kosinussatz funktioniert dort, wo der Satz des Pythagoras endet.
Jedes Dreieck, jeder Winkel
Gib zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen ein und der Rechner liefert die dritte Seite mit c = √(a² + b² − 2ab·cos(C)).
Winkel in Grad
Der eingeschlossene Winkel wird in Grad eingegeben und muss größer als 0° und kleiner als 180° sein — die beiden Seiten teilen sich diesen Eckpunkt.
Was ist der Kosinussatz?
Die dritte Seite eines Dreiecks
Der Kosinussatz ist die Regel, mit der du die fehlende dritte Seite eines Dreiecks findest, wenn du zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennst. Dieser Kosinussatz-Rechner nimmt zwei Seiten, a und b, sowie den eingeschlossenen Winkel C und liefert die Seite c, die diesem Winkel gegenüberliegt. Es ist das Werkzeug, zu dem Vermesser, Navigatoren und Ingenieure greifen, wenn ein Dreieck nicht rechtwinklig ist und der einfache Satz des Pythagoras nicht mehr gilt.
Gib zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen ein, um sofort die dritte Seite zu erhalten.
Die dritte Seite ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der beiden bekannten Seiten, vermindert um das doppelte Produkt der Seiten mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.
c = √(a² + b² − 2ab·cos(C))Der Kosinusterm passt die Formel an jeden Winkel an. Ist C gleich 90°, so ist sein Kosinus null, der letzte Term verschwindet und der Ausdruck fällt auf den Satz des Pythagoras c = √(a² + b²) zurück. Ein größerer, stumpfer Winkel macht den Kosinus negativ, was die Summe erhöht und die dritte Seite verlängert; ein kleinerer, spitzer Winkel verkürzt sie.
Angenommen, zwei Seiten messen 5 und 7, mit einem Winkel von 60° dazwischen.
Die beiden Seiten quadrieren
5² + 7² = 25 + 49 = 74 — die Summe der Quadrate.
Den Kosinusterm abziehen
2 × 5 × 7 × cos(60°) = 70 × 0,5 = 35, also 74 − 35 = 39.
Die Quadratwurzel ziehen
√39 ≈ 6,244998 — die Länge der dritten Seite c.
Die Zahl, die du erhältst, ist die Länge der Seite gegenüber dem eingegebenen Winkel, in der Einheit, die du für die beiden Seiten verwendet hast. Der Winkel ist der Hebel, der das Ergebnis bewegt: Hältst du die beiden Seiten fest, so spreizt ein weiterer Winkel sie auseinander und erzeugt eine längere dritte Seite, während ein engerer Winkel sie zusammenfaltet und eine kürzere ergibt. Bei genau 90° stimmt das Ergebnis mit der Hypotenuse überein, die du aus dem Satz des Pythagoras erhalten würdest — deshalb gilt der Kosinussatz als dessen Verallgemeinerung. Genau darin liegt sein Nutzen im Alltag: Er misst Abstände über Dreiecke ohne rechten Winkel, vom Abstand zweier von einem Punkt aus sichtbarer Landmarken bis zur Schlussseite eines vermessenen Grundstücks.
Die Formel ist exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Winkel in Grad, zwischen den beiden Seiten
Gib den eingeschlossenen Winkel in Grad ein, nicht in Bogenmaß, und halte ihn streng zwischen 0° und 180° — ein Winkel von 0° oder 180° lässt das Dreieck zu einer Linie zusammenfallen. Der Winkel muss der zwischen den beiden eingegebenen Seiten sein; ein anderer Winkel ergibt eine andere Seite. Bei genau 90° fällt der Kosinussatz auf den Satz des Pythagoras zurück, sodass beide Methoden dort übereinstimmen.