Sinussatz Rechner
Gib eine Seite, ihren Gegenwinkel und einen zweiten Winkel ein, um die Seite gegenüber diesem Winkel zu finden — den Rest erledigt der Sinussatz.
Eine Seite, zwei Winkel
Gib dem Rechner eine bekannte Seite a, ihren Gegenwinkel A und den Winkel B gegenüber der gesuchten Seite, und er liefert b = a × sin(B) / sin(A).
Winkel in Grad
Gib beide Winkel in Grad ein, jeder unter 180°, wobei die Summe der beiden unter 180° bleiben muss, damit ein echtes Dreieck übrig bleibt.
Was macht der Sinussatz?
Seiten und ihre Gegenwinkel
Der Sinussatz-Rechner findet eine unbekannte Dreiecksseite aus einer bekannten Seite, dem ihr gegenüberliegenden Winkel und einem zweiten Winkel. Der Sinussatz besagt, dass in jedem Dreieck das Verhältnis einer Seite zum Sinus ihres Gegenwinkels für alle drei Seiten gleich ist, also a / sin(A) = b / sin(B). Umgestellt ergibt das die Seite gegenüber Winkel B direkt: b = a × sin(B) / sin(A). Das ist das Werkzeug hinter der Vermessung unzugänglicher Strecken, hinter Navigationsfixen und hinter jedem Geometrieproblem, bei dem du einen Winkel und die ihm gegenüberliegende Seite kennst.
Gib Seite a, den Gegenwinkel A und den Winkel B gegenüber der gesuchten Seite ein, um sofort b = a × sin(B) / sin(A) zu erhalten.
Die Seite gegenüber Winkel B entspricht der bekannten Seite a, skaliert mit dem Verhältnis aus dem Sinus von Winkel B zum Sinus von Winkel A.
b = a × sin(B) / sin(A)Beide Winkel werden in Grad eingegeben und vor der Sinusbildung ins Bogenmaß umgerechnet. Da der Rechner von einer Seite und zwei Winkeln ausgeht, ist der dritte Winkel — und damit das ganze Dreieck — festgelegt, sodass das Ergebnis stets eine einzige, eindeutige Seite ist.
Angenommen, ein Dreieck hat die Seite a = 10 gegenüber Winkel A = 30°, und du suchst die Seite gegenüber Winkel B = 45°.
Sinus jedes Winkels bilden
sin(45°) ≈ 0,70711 und sin(30°) = 0,5 — die beiden Sinuswerte im Verhältnis.
Das Verhältnis bilden
sin(45°) / sin(30°) ≈ 0,70711 / 0,5 ≈ 1,41421 — um wie viel b größer als a ist.
Die bekannte Seite skalieren
10 × 1,41421 ≈ 14,142136 — die Seite gegenüber Winkel B.
Das Ergebnis ist die Länge der Seite gegenüber Winkel B, ausgedrückt in derselben Einheit, die du für Seite a verwendet hast — war a in Metern, ist b in Metern. Das Verhältnis sin(B) / sin(A) erzählt die ganze Geschichte: Ist Winkel B größer als Winkel A, ist seine Gegenseite länger (b > a), ist B kleiner, ist die Seite kürzer. Im Beispiel ist B = 45° größer als A = 30°, also fällt b ≈ 14,14 länger aus als a = 10. Das spiegelt eine Grundtatsache über Dreiecke wider — der größte Winkel liegt stets der längsten Seite gegenüber — und der Sinussatz macht diese Beziehung exakt. Sobald du Seite b hast, lässt dich dasselbe Verhältnis die verbleibende Seite oder den verbleibenden Winkel lösen und das gesamte Dreieck festlegen.
Die Formel ist exakt, doch ein paar Bedingungen halten sie gültig.
Grad, zwei Winkel und der mehrdeutige SSW-Fall
Gib beide Winkel in Grad ein — jeder größer als 0° und kleiner als 180°, beide zusammen unter 180°, damit ein echtes Dreieck existiert. Dieser Rechner nimmt eine Seite und zwei Winkel, was stets ein einziges Dreieck festlegt. Die klassische Falle ist der mehrdeutige SSW-Fall — zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel —, bei dem der Sinussatz null, ein oder zwei Dreiecke liefern kann; die Arbeit aus zwei Winkeln, wie hier, umgeht diese Mehrdeutigkeit vollständig.