Winkel zwischen Vektoren Rechner
Gib die x-, y- und z-Komponenten zweier Vektoren ein und erhalte den Winkel zwischen ihnen in Grad — direkt aus dem Skalarprodukt und den Vektorbeträgen.
Funktioniert in 2D und 3D
Gib alle drei Komponenten für einen 3D-Vektor ein oder lass die z-Komponenten bei 0, um mit reinen 2D-Vektoren in der x-y-Ebene zu arbeiten.
Ergebnis in Grad
Der Winkel liegt stets zwischen 0° und 180° — die kleinste Drehung, die die eine Richtung auf die andere abbildet.
Was ist der Winkel zwischen zwei Vektoren?
Richtung, nicht Länge
Der Winkel zwischen zwei Vektoren beschreibt, wie weit ihre Richtungen auseinanderliegen, unabhängig davon, wie lang jeder einzelne ist. Dieser Winkel-zwischen-Vektoren-Rechner nimmt die x-, y- und z-Komponenten zweier Vektoren A und B und liefert den Winkel zwischen ihnen in Grad, berechnet aus dem Skalarprodukt und den Beträgen der Vektoren. Das ist die Zahl hinter Fragen wie „Stehen diese beiden Richtungen senkrecht zueinander?“, „Wie gut sind diese Kräfte ausgerichtet?“ oder „Wie groß ist der Winkel zwischen diesen beiden Kanten?“ in Geometrie, Physik, Grafik und maschinellem Lernen.
Gib die Komponenten der Vektoren A und B ein, um sofort den Winkel zwischen ihren Richtungen in Grad zu erhalten — irgendwo zwischen 0° und 180°.
Der Winkel ergibt sich aus dem Skalarprodukt der beiden Vektoren geteilt durch das Produkt ihrer Beträge, das anschließend durch den Arkuskosinus läuft.
θ = arccos( (A·B) / (|A| × |B|) )Das Skalarprodukt ist A·B = ax·bx + ay·by + az·bz, und der Betrag eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe seiner quadrierten Komponenten. Teilst du das Skalarprodukt durch die beiden Beträge, erhältst du den Kosinus des Winkels, stets zwischen -1 und 1, und der Arkuskosinus macht daraus wieder einen Winkel zwischen 0° und 180°.
Angenommen, A = (1, 0, 0) und B = (0, 1, 0) — die x-Achse und die y-Achse.
Skalarprodukt bilden
A·B = 1×0 + 0×1 + 0×0 = 0 — die Komponenten überlappen sich nie.
Beträge bestimmen
Die Beträge sind |A| = √(1² + 0² + 0²) = 1 und |B| = √(0² + 1² + 0²) = 1.
Teilen und Arkuskosinus nehmen
cosθ = 0 / (1 × 1) = 0, also θ = arccos(0) = 90°. Die beiden Vektoren stehen senkrecht zueinander.
Der Winkel beantwortet eine einzige Frage: Wie weit zeigen die beiden Vektoren auseinander? Ein Winkel von 0° bedeutet, dass die Vektoren parallel sind und in dieselbe Richtung zeigen — sie sind Vielfache voneinander, etwa (2, 0, 0) und (5, 0, 0). Ein Winkel von 90° bedeutet, dass sie senkrecht (orthogonal) zueinander stehen: Ihr Skalarprodukt ist null und keiner hat einen „Schatten“ entlang des anderen. Ein Winkel von 180° bedeutet, dass sie antiparallel sind — sie liegen auf derselben Geraden, zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen, etwa (1, 2, 3) und (-1, -2, -3). Alles dazwischen misst eine teilweise Ausrichtung: Winkel unter 90° bedeuten, dass die Vektoren grob übereinstimmen (positives Skalarprodukt), während Winkel über 90° bedeuten, dass sie sich grob entgegenstehen (negatives Skalarprodukt). Weil die Formel beide Beträge herausteilt, hängt das Ergebnis nur von der Richtung ab, nie von der Länge der Vektoren — eine Verdopplung eines Vektors lässt den Winkel unverändert.
Die Formel ist exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Braucht zwei Vektoren ungleich null und liefert 0°–180°
Der Winkel ist nur definiert, wenn beide Vektoren eine Länge ungleich null haben: Der Nullvektor (0, 0, 0) hat keine Richtung, das Teilen durch seinen Betrag ist also undefiniert, und der Rechner liefert kein Ergebnis. Das Ergebnis ist immer der vorzeichenlose Winkel zwischen 0° und 180° — er sagt dir, wie weit die Richtungen auseinanderliegen, aber nicht, in welche Richtung du von der einen zur anderen drehen würdest. Für einen vorzeichenbehafteten oder gegen den Uhrzeigersinn gemessenen Winkel in einer Ebene brauchst du eine orientierte Methode wie atan2.