Vektorbetrag Rechner
Gib die x-, y- und z-Komponenten eines Vektors ein, um seinen Betrag zu erhalten — die geradlinige Länge vom Ursprung bis zu seiner Spitze — und sieh, wie die Formel Pythagoras in drei Dimensionen erweitert.
Jeder 3D-Vektor
Gib die x-, y- und z-Komponenten ein und der Vektorbetrag-Rechner liefert sofort die Länge |v| = √(x² + y² + z²).
2D? z auf 0 setzen
Für einen flachen 2D-Vektor lässt du die z-Komponente auf 0 — die Formel wird zu √(x² + y²), der vertrauten Hypotenuse.
Was ist der Vektorbetrag?
Die Länge eines Vektors
Der Betrag eines Vektors ist seine Länge — der geradlinige Abstand vom Ursprung bis zu dem Punkt, den der Vektor erreicht. Der Vektorbetrag-Rechner nimmt die drei Komponenten eines 3D-Vektors, x, y und z, und liefert diese Länge als einzelne nicht-negative Zahl. Die Richtung spielt dabei keine Rolle: Ein Vektor mit gleicher Länge hat denselben Betrag, egal wohin er zeigt. Das ist die Größe hinter Geschwindigkeiten aus Geschwindigkeitsvektoren, Abständen im 3D-Raum und Kraftstärken in Physik und Technik.
Gib die x-, y- und z-Komponenten eines Vektors ein, um sofort seinen Betrag — seine Länge — zu erhalten.
Der Betrag ist die Quadratwurzel aus der Summe der quadrierten Komponenten. Jede Komponente wird quadriert, die Quadrate werden addiert, und die Wurzel aus dieser Summe ist die Länge.
|v| = √(x² + y² + z²)Da jede Komponente vor dem Addieren quadriert wird, spielen Vorzeichen keine Rolle: Eine Komponente von −4 trägt dieselben 16 bei wie +4. Deshalb ist der Betrag immer null oder positiv. Verwende für alle drei Komponenten dieselbe Einheit, dann kommt der Betrag in dieser Einheit zurück.
Angenommen, ein Vektor hat die Komponenten x = 3, y = 4 und z = 0.
Jede Komponente quadrieren
3² = 9, 4² = 16 und 0² = 0 — die quadrierten Komponenten.
Die Quadrate addieren
9 + 16 + 0 = 25 — die Summe der quadrierten Komponenten.
Die Wurzel ziehen
√25 = 5 — der Betrag des Vektors. Das klassische 3-4-5-Dreieck, jetzt in Vektorform.
Der Betrag sagt dir, wie lang der Vektor ist — nicht mehr und nicht weniger. Ein Betrag von 5 für den Vektor (3, 4, 0) bedeutet, dass seine Spitze genau 5 Einheiten vom Ursprung entfernt liegt, egal in welche Richtung er zeigt. Aus der Formel folgen zwei wichtige Dinge. Erstens ist der Betrag immer größer oder gleich null — er kann nur für den Nullvektor (0, 0, 0) genau null sein und ist für alles andere positiv. Zweitens ist das der Satz des Pythagoras, erweitert auf 3D: In zwei Dimensionen ist die Länge von (x, y) gleich √(x² + y²), die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, und eine z-Achse fügt einfach einen weiteren quadrierten Term unter der Wurzel hinzu. Dasselbe Muster lässt sich auf beliebig viele Dimensionen übertragen. Brauchst du nur eine 2D-Länge, lässt du z auf 0, und der dritte Term fällt weg.
Die Formel ist exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Einheitliche Einheiten und eine Länge, keine Richtung
Der Betrag ist eine einzelne Zahl — die Länge des Vektors — und sagt nichts über seine Richtung aus; dafür brauchst du die Komponenten selbst oder den Einheitsvektor. Halte alle drei Komponenten in derselben Einheit, sonst ist das Ergebnis bedeutungslos. Der Betrag ist immer null oder positiv und kann daher nie negativ werden; erwartest du ein Vorzeichen, suchst du eine Komponente, nicht den Betrag.