Skalarprodukt Rechner
Gib die Komponenten zweier 3D-Vektoren ein, um ihr Skalarprodukt zu erhalten — die eine Zahl, die die Vektoren mit dem Winkel zwischen ihnen verbindet.
Skalarprodukt in einem Schritt
Gib die x-, y- und z-Komponenten der Vektoren A und B ein und der Rechner liefert das Skalarprodukt A·B = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z.
Reihenfolge passt
Ordne jede Komponente ihrem Partner zu — x zu x, y zu y, z zu z. Negative Komponenten sind erlaubt und können das Ergebnis negativ oder null machen.
Was ist das Skalarprodukt?
Das Punktprodukt zweier Vektoren
Dieser Skalarprodukt-Rechner ermittelt das Punktprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren — die eine Zahl, die du erhältst, wenn du ihre passenden Komponenten multiplizierst und die Ergebnisse addierst. Das Skalarprodukt (auch Punktprodukt genannt) nimmt zwei Vektoren und liefert eine gewöhnliche Zahl statt eines weiteren Vektors, weshalb es „skalar" heißt. Es erfasst, wie stark die beiden Vektoren in dieselbe Richtung zeigen: groß und positiv, wenn sie gleich gerichtet sind, null, wenn sie senkrecht aufeinander stehen, und negativ, wenn sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Es ist das Arbeitstier hinter Projektionen, der von einer Kraft verrichteten Arbeit, der Beleuchtung in der Computergrafik und dem Winkel zwischen zwei beliebigen Vektoren.
Gib die drei Komponenten jedes Vektors ein, um das Skalarprodukt A·B in einem einzigen Schritt zu erhalten.
Das Skalarprodukt multipliziert jedes Paar passender Komponenten und addiert die drei Produkte.
A·B = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_zJeder Term paart eine Komponente von A mit der passenden Komponente von B, sodass sich die x-Teile, die y-Teile und die z-Teile jeweils multiplizieren. Die Addition dieser drei Produkte ergibt eine einzelne Zahl. Da es eine Summe von Produkten ist und kein weiterer Vektor, ist das Skalarprodukt kommutativ: A·B ist gleich B·A.
Angenommen, Vektor A ist (1, 2, 3) und Vektor B ist (4, 5, 6).
x-Komponenten multiplizieren
1 × 4 = 4 — der Beitrag aus der x-Achse.
y- und z-Komponenten multiplizieren
2 × 5 = 10 und 3 × 6 = 18 — die Beiträge aus der y- und z-Achse.
Die drei Produkte addieren
4 + 10 + 18 = 32 — das Skalarprodukt A·B. Das positive Ergebnis sagt dir, dass die beiden Vektoren grob in dieselbe Richtung zeigen.
Das Skalarprodukt ist mehr als Rechnerei — sein Vorzeichen und seine Größe beschreiben die geometrische Beziehung zwischen den beiden Vektoren. Geometrisch gilt A·B = |A| |B| cos θ, wobei |A| und |B| die Längen der Vektoren sind und θ der Winkel zwischen ihnen ist. Diese eine Identität erklärt jeden Fall. Ein positives Skalarprodukt bedeutet, dass der Winkel kleiner als 90° ist, die Vektoren also grob in dieselbe Richtung zeigen. Ein negatives Skalarprodukt bedeutet, dass der Winkel größer als 90° ist, sie also in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Und ein Skalarprodukt von genau null bedeutet, dass cos θ null ist, θ also 90° beträgt — die beiden Vektoren stehen senkrecht (orthogonal) aufeinander. Deshalb ist das Skalarprodukt der Standardtest für Orthogonalität und die Grundlage dafür, einen Vektor auf einen anderen zu projizieren: Die Projektion von A auf B wächst direkt mit ihrem Skalarprodukt.
Die Formel ist exakt, doch ein paar Punkte solltest du im Blick behalten.
Ein Skalar, kein Vektor — und achte auf die Geometrie
Das Skalarprodukt liefert eine einzelne Zahl, keinen Vektor — brauchst du einen Vektor, der senkrecht auf beiden Eingaben steht, willst du stattdessen das Kreuzprodukt. Das Ergebnis hängt über A·B = |A| |B| cos θ vom Winkel ab: Ein Wert von null bedeutet, dass die Vektoren orthogonal (senkrecht) sind, nicht dass einer der Vektoren null ist. Dieser Rechner arbeitet mit dreidimensionalen Vektoren; ordne jede Komponente ihrem passenden Partner zu und halte dieselbe x-, y- und z-Reihenfolge über beide Vektoren ein.