Betrag des Kreuzprodukts
Gib die Komponenten zweier 3D-Vektoren ein, um den Betrag ihres Kreuzprodukts zu erhalten — die Länge von A × B, die dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht.
Betrag von A × B auf einen Blick
Gib die x-, y- und z-Komponenten der Vektoren A und B ein und dieser Kreuzprodukt-Rechner liefert |A × B| = √(cx² + cy² + cz²) sofort.
Reihenfolge zählt
A × B und B × A zeigen in entgegengesetzte Richtungen, haben aber denselben Betrag — die Länge hängt also nicht von der Eingabereihenfolge ab.
Was ist der Betrag des Kreuzprodukts?
Die Länge von A × B
Dieser Rechner ermittelt den Betrag — die Länge — des Kreuzprodukts zweier 3D-Vektoren. Das Kreuzprodukt A × B ist selbst ein Vektor, der senkrecht auf A und B steht, und seine Länge sagt dir, wie viel „Drehung" die beiden Vektoren gemeinsam erzeugen. Diese Länge entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen — deshalb taucht sie überall auf, vom Drehmoment und Drehimpuls in der Physik bis zu Flächennormalen und Beleuchtung in der 3D-Grafik. Gib die drei Komponenten jedes Vektors ein und der Rechner liefert die einzelne Zahl |A × B|.
Gib die Komponenten zweier 3D-Vektoren ein, um sofort den Betrag ihres Kreuzprodukts zu erhalten — den Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.
Das Kreuzprodukt bildet zuerst aus den Komponenten einen neuen Vektor, und der Betrag ist dann die Länge dieses Vektors.
|A × B| = √(cx² + cy² + cz²)Die drei Komponenten von A × B sind cx = ay·bz − az·by, cy = az·bx − ax·bz und cz = ax·by − ay·bx. Sobald du sie hast, ist der Betrag einfach die Wurzel aus der Summe ihrer Quadrate — genau dieselbe Längenformel wie für jeden 3D-Vektor.
Angenommen, A = (1, 2, 3) und B = (4, 5, 6).
Kreuzproduktvektor bilden
cx = 2·6 − 3·5 = −3, cy = 3·4 − 1·6 = 6, cz = 1·5 − 2·4 = −3, also A × B = (−3, 6, −3).
Komponenten quadrieren und addieren
(−3)² + 6² + (−3)² = 9 + 36 + 9 = 54.
Wurzel ziehen
√54 ≈ 7,3485 — der Betrag von A × B und der Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen.
Der Betrag hat eine klare geometrische Bedeutung: |A × B| = |A| |B| sin θ, wobei θ der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist. Wegen des Faktors sin θ ist das Ergebnis am größten, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen (sin 90° = 1, also |A| |B|), und schrumpft auf null, je mehr sie sich ausrichten. Dieselbe Größe ist der Flächeninhalt des Parallelogramms mit A und B als Seiten — ein größerer Betrag bedeutet also, dass sich die beiden Vektoren stärker „öffnen". Deshalb ist der Betrag des Kreuzprodukts das natürliche Werkzeug, um Drehmoment (Kraft mal Hebelarm), die Stärke einer Drehwirkung oder den Flächeninhalt eines Dreiecks (die Hälfte des Kreuzprodukt-Betrags zweier seiner Kanten) zu messen.
Die Formel ist exakt, doch ein paar Eigenschaften des Kreuzprodukts solltest du im Blick behalten.
Drei Dimensionen und null bei parallelen Vektoren
Das Kreuzprodukt ist für 3D-Vektoren definiert — verwende eine z-Komponente von 0, um einen 2D-Vektor zu behandeln. Der Betrag ist null, sobald die beiden Vektoren parallel oder antiparallel sind (oder einer der Nullvektor ist), denn der Betrag folgt aus dem Produkt der Längen mal sin θ — und sin θ wird dann null. Der Betrag allein verwirft die Richtung: A × B und B × A liefern dieselbe Länge, obwohl die Kreuzproduktvektoren in entgegengesetzte Richtungen zeigen.