Steigungs Rechner
Gib zwei Punkte ein und erhalte die Steigung der Geraden, die sie verbindet, dazu den y-Achsenabschnitt und die ganze Gleichung y = mx + b.
Zwei Punkte, die ganze Gerade
Gib dem Rechner (x₁, y₁) und (x₂, y₂), und er liefert die Steigung (Höhenunterschied ÷ horizontaler Abstand) und den y-Achsenabschnitt — alles für y = mx + b.
Senkrechte Geraden haben keine Steigung
Sind die beiden x-Werte gleich, ist der horizontale Abstand null und die Steigung undefiniert. Der Rechner gibt dann kein Ergebnis statt einer irreführenden Zahl zurück.
Was ist ein Steigungs-Rechner?
Höhenunterschied durch Abstand, sofort
Ein Steigungs-Rechner misst, wie steil eine Gerade zwischen zwei Punkten ansteigt oder abfällt. Die Steigung — auch Gradient genannt — ist die Höhenänderung (der Höhenunterschied) geteilt durch die Änderung des horizontalen Abstands: Steigung = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1). Sobald du die Steigung kennst, findet der Rechner auch den y-Achsenabschnitt b, den Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet — so erhältst du die vollständige Geradengleichung y = mx + b. Diese eine Gleichung beschreibt Rampen und Dachneigungen, die Änderungsrate in einem Diagramm, die Preis-Mengen-Gerade in der Wirtschaft und jede Aufgabe, die nach der Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte fragt.
Gib zwei Punkte ein und erhalte die Steigung, den y-Achsenabschnitt und die Gleichung y = mx + b sofort.
Zwei kurze Formeln, beide aus den Koordinaten deiner zwei Punkte gebildet.
Steigung = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1)Die Steigung ist der Höhenunterschied (die Änderung in y) geteilt durch den horizontalen Abstand (die Änderung in x). Ziehe die Koordinaten oben und unten in derselben Reihenfolge ab — zweiter Punkt minus erster Punkt — damit die Vorzeichen stimmig bleiben. Der y-Achsenabschnitt ergibt sich dann aus b = y1 − m × x1: umgestellt aus y = mx + b, sagt er dir, wo die Gerade die y-Achse trifft. Zusammen liefern die Steigung m und der Abschnitt b die ganze Geradengleichung.
Angenommen, deine zwei Punkte sind (1, 2) und (3, 6).
Höhenunterschied und Abstand
Höhenunterschied = 6 − 2 = 4. Abstand = 3 − 1 = 2. Die Gerade steigt um 4 pro 2 nach rechts.
Steigung
Steigung = 4 ÷ 2 = 2 — die Gerade steigt um 2 y-Einheiten pro x-Einheit.
y-Achsenabschnitt
b = y1 − m × x1 = 2 − 2 × 1 = 0, also verläuft die Gerade durch den Ursprung: y = 2x.
Die Steigung sagt dir sowohl die Richtung als auch die Steilheit der Geraden. Eine positive Steigung (wie die 2 in unserem Beispiel) bedeutet, dass die Gerade von links nach rechts ansteigt — y wächst, wenn x wächst. Eine negative Steigung bedeutet, dass sie von links nach rechts fällt, und eine Steigung von null ist eine völlig flache, waagerechte Gerade, bei der sich y nie ändert. Die Größe der Zahl ist die Steilheit: eine Steigung von 2 klettert doppelt so schnell wie eine Steigung von 1, während eine Steigung von 0,5 ein sanfter Anstieg ist. Der y-Achsenabschnitt b sagt dir, wo die Gerade auf der y-Achse beginnt, wenn x null ist — in unserem Beispiel ist b = 0, die Gerade läuft also durch den Ursprung. Ein Sonderfall hat gar keine Zahl: Sind die beiden x-Werte gleich, ist der horizontale Abstand null, die Gerade verläuft senkrecht und die Steigung ist undefiniert, weil man nicht durch null teilen kann. In der Praxis ist eine Steigung ein Gefälle: eine 5-%-Rollstuhlrampe, eine Dachneigung oder die Änderungsrate einer Größe gegenüber einer anderen in einem Diagramm.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Verschiedene x-Werte und gleiche Reihenfolge
Die beiden Punkte müssen unterschiedliche x-Werte haben; ist x₂ gleich x₁, verläuft die Gerade senkrecht und die Steigung ist undefiniert, sodass der Rechner kein Ergebnis liefert. Ziehe die Koordinaten immer in derselben Reihenfolge ab — zweiter Punkt minus erster, oben wie unten — sonst kippt das Vorzeichen der Steigung. Das Ergebnis beschreibt eine einzelne Gerade, keine Kurve: bei gekrümmten Daten gibt die Steigung nur die durchschnittliche Änderungsrate zwischen den beiden gewählten Punkten an.