Geometrische Verteilung Rechner
Gib die Erfolgswahrscheinlichkeit p und eine Versuchsnummer k ein, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dass der erste Erfolg genau auf Versuch k fällt — die PMF der geometrischen Verteilung.
Wahrscheinlichkeit des ersten Erfolgs
Gib die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch und die Versuchsnummer ein und der Rechner liefert P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p sofort.
Unabhängige Versuche
Die geometrische Verteilung setzt unabhängige, identische Versuche voraus, jeder mit derselben Erfolgswahrscheinlichkeit p, und k ist eine positive ganze Zahl.
Was ist die geometrische Verteilung?
Die Wahrscheinlichkeit des ersten Erfolgs
Der Geometrische-Verteilung-Rechner beantwortet eine einzige, häufige Frage: Wie groß ist in einer Folge unabhängiger Versuche, die jeweils mit derselben Wahrscheinlichkeit p gelingen, die Chance, dass der allererste Erfolg genau auf Versuch k eintritt? Denk an eine gezinkte Münze, die du wirfst, bis Kopf erscheint, an einen Würfel, den du rollst, bis eine Sechs fällt, oder an Anfragen, die du sendest, bis eine endlich durchgeht. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p multipliziert die Chance auf (k − 1) Misserfolge mit der Chance auf einen Erfolg im letzten Versuch. Gib die Erfolgswahrscheinlichkeit und die Versuchsnummer ein und du erhältst diese Wahrscheinlichkeit direkt.
Gib eine Erfolgswahrscheinlichkeit p und eine Versuchsnummer k ein, um sofort die Chance zu erhalten, dass der erste Erfolg genau auf Versuch k fällt.
Die Wahrscheinlichkeit ist die Chance auf (k − 1) Misserfolge hintereinander, jeder mit Wahrscheinlichkeit (1 − p), gefolgt von einem einzigen Erfolg mit Wahrscheinlichkeit p.
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × pJeder der ersten (k − 1) Versuche muss misslingen, und Misserfolge sind unabhängig, sodass sich ihre Wahrscheinlichkeiten zu (1 − p)^(k − 1) multiplizieren. Der k-te Versuch gelingt dann mit Wahrscheinlichkeit p. Weil jeder zusätzliche Misserfolg einen weiteren Faktor (1 − p) hinzufügt, schrumpft die Wahrscheinlichkeit geometrisch, je größer k wird.
Angenommen, jeder Versuch gelingt mit Wahrscheinlichkeit p = 0,2 und du möchtest die Chance, dass der erste Erfolg auf Versuch k = 3 fällt.
Misserfolge zählen
Die ersten 3 − 1 = 2 Versuche müssen misslingen, jeder mit Wahrscheinlichkeit 1 − 0,2 = 0,8.
Misserfolgswahrscheinlichkeiten multiplizieren
0,8^2 = 0,64 — die Chance auf zwei Misserfolge hintereinander.
Mit dem Erfolg multiplizieren
0,64 × 0,2 = 0,128 — die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg genau auf Versuch 3 fällt.
Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg genau auf Versuch k eintritt — nicht auf oder vor Versuch k. Für p = 0,2 und k = 3 sind das 0,128, sodass bei vielen wiederholten Experimenten rund 12,8 % ihren ersten Erfolg im dritten Versuch hätten. Beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten mit wachsendem k sinken: Der erste Erfolg ist auf Versuch 1 am wahrscheinlichsten (Wahrscheinlichkeit p), und jeder spätere Versuch ist unwahrscheinlicher, weil er zuvor mehr Misserfolge verlangt. Eine nützliche Begleitzahl ist der Mittelwert, der erwartete Versuch des ersten Erfolgs, nämlich 1/p. Mit p = 0,2 beträgt der Mittelwert 1 ÷ 0,2 = 5, der erste Erfolg kommt also im Schnitt im fünften Versuch — auch wenn Versuch 1 für sich genommen das einzelne wahrscheinlichste Ergebnis ist. Je kleiner p, desto länger wartest du typischerweise und desto breiter wird die Verteilung.
Die Formel ist exakt, beruht aber auf einigen Annahmen, die du im Blick behalten solltest.
Unabhängige, identische Versuche und ein ganzzahliges k
Dieser Rechner nutzt die geometrische Verteilung, die annimmt, dass die Versuche unabhängig sind und jeder Versuch dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit p hat. Ändert sich die Wahrscheinlichkeit zwischen den Versuchen oder beeinflussen frühere Ausgänge spätere, gilt die Formel nicht mehr. Die Versuchsnummer k muss eine positive ganze Zahl sein — der erste Erfolg kann nicht auf Versuch 2,5 fallen — und p muss zwischen 0 und 1 liegen. Dies ist die Form „Versuch des ersten Erfolgs"; manche Lehrbücher zählen stattdessen die Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg, was k um eins verschiebt.