Permutationen Rechner
Gib die Größe deiner Menge und die Anzahl der angeordneten Elemente ein und erhalte die Zahl der geordneten Anordnungen — die Zahl hinter Zieleinläufen, Passwörtern und Ranglisten.
Zwei Werte, eine Anzahl
Gib die Gesamtzahl der Elemente (n) und die Anzahl der angeordneten (r) ein; der Rechner liefert P(n, r) mit der Formel P(n, r) = n! ÷ (n − r)!.
Reihenfolge zählt
Permutationen zählen Anordnungen, keine Auswahlen — dieselben Elemente in anderer Reihenfolge zählen als eigene Permutationen.
Was ist eine Permutation?
Eine Gruppe anordnen, wenn die Reihenfolge zählt
Eine Permutation ist eine Möglichkeit, r aus einer Menge von n Elementen anzuordnen, bei der die Reihenfolge der Anordnung zählt — die Folge (A, B, C) ist eine andere Permutation als (C, A, B). Die Anzahl solcher Anordnungen schreibt man P(n, r), gesprochen „n permutiert r“, und sie ergibt sich aus der Formel P(n, r) = n! ÷ (n − r)!. Permutationen beantworten die Frage „wie viele verschiedene geordnete Anordnungen kann ich bilden“ — genau die Frage hinter Podestplätzen, Passwortanzahlen und den Setzlisten eines Turniers.
Gib deine Gesamtzahl und die Anzahl der angeordneten Elemente ein, um die Zahl der Permutationen sofort zu erhalten.
Eine Formel, gebildet aus der Mengengröße n und der Anzahl der angeordneten r.
P(n, r) = n! ÷ (n − r)!Die Fakultät n! multipliziert jede ganze Zahl von 1 bis n. Das Teilen von n! durch (n − r)! kürzt jeden Faktor von 1 bis n − r weg und lässt nur die r absteigenden Faktoren n × (n − 1) × … × (n − r + 1) übrig. In der Praxis multipliziert dieser Rechner diese r Faktoren direkt, sodass selbst große Werte von n nie über ein zwischenzeitliches n! überlaufen.
Angenommen, du möchtest Gold, Silber und Bronze unter 10 Läuferinnen und Läufern vergeben.
n und r bestimmen
n = 10 Personen insgesamt, r = 3 platziert — die Reihenfolge zählt, denn Gold unterscheidet sich von Bronze.
Formel anwenden
P(10, 3) = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!.
Vereinfachen
10 × 9 × 8 = 720 — es gibt 720 mögliche Podestreihenfolgen.
Die Zahl, die du erhältst, ist die Anzahl der unterschiedlichen geordneten Anordnungen, die du bilden kannst, wobei jede Umordnung derselben Elemente als eigene Permutation gezählt wird. Das Erste, was auffällt: Permutationen sind immer mindestens so viele wie Kombinationen — weil sich jede Gruppe aus r Elementen in r! verschiedenen Reihenfolgen anordnen lässt, gilt P(n, r) = C(n, r) × r!, das Anordnen ist also reihenfolgenabhängig und die Anzahl wächst schnell. Die Ränder sind sauber: P(n, 0) = 1, denn es gibt genau eine Möglichkeit, nichts anzuordnen, und P(n, n) = n!, die Anzahl der Möglichkeiten, die ganze Menge in eine Reihenfolge zu bringen. Lies ein großes Ergebnis als Maß dafür, wie viele geordnete Ausgänge möglich sind — 311.875.200 Anordnungen einer geordneten 5-Karten-Ziehung aus einem 52-Karten-Deck bedeuten, dass jede konkrete ausgegebene Reihenfolge selten ist. Dieses schneller-als-lineare Wachstum ist der Grund, warum selbst bescheidene Mengen riesige Anordnungszahlen ergeben.
Die Permutationsformel ist exakt, doch ein paar Punkte bewahren sie vor falscher Anwendung.
Reihenfolge zählt, keine Wiederholung, r ≤ n
Dieser Rechner zählt Permutationen — Anordnungen, bei denen die Reihenfolge zählt und jedes Element höchstens einmal verwendet wird. Spielt die Reihenfolge keine Rolle, brauchst du stattdessen Kombinationen; dürfen sich Elemente wiederholen, brauchst du Permutationen mit Wiederholung, eine andere Formel. Sowohl n als auch r müssen ganze Zahlen sein, und du kannst nicht mehr Elemente anordnen, als vorhanden sind, also darf r nicht größer als n sein — sonst gibt es keine gültige Anordnung und der Rechner liefert kein Ergebnis.