Permutationen mit Wiederholung Rechner
Gib die Anzahl der verschiedenen Elemente und die Anzahl der Positionen ein, um jede geordnete Auswahl zu zählen, wenn Elemente sich wiederholen dürfen — das n^r hinter PINs, Passwörtern und Kennzeichen.
Reihenfolge zählt, Wiederholung erlaubt
Jede Position wird unabhängig aus allen n Elementen besetzt, sodass dasselbe Element erneut vorkommen kann — die Anzahl ist einfach n hoch r.
Nur ganze Zahlen
Verwende eine ganze Anzahl verschiedener Elemente (n ≥ 1) und eine ganze Anzahl von Positionen (r ≥ 0); Brüche haben hier keine kombinatorische Bedeutung.
Was sind Permutationen mit Wiederholung?
Geordnete Auswahlen, bei denen Elemente sich wiederholen dürfen
Permutationen mit Wiederholung zählen die geordneten Auswahlen, die du bilden kannst, wenn du r Positionen besetzt, jede frei aus derselben Menge von n verschiedenen Elementen — und dasselbe Element darf mehrfach verwendet werden. Da jede Position unabhängig ist und die Reihenfolge zählt, ist die Gesamtzahl n hoch r (n^r). Das ist die Zahl hinter einer 4-stelligen PIN, einem Passwort fester Länge, einem Kennzeichen oder jeder Zeichenkette aus einem festen Alphabet. Gib ein, aus wie vielen verschiedenen Elementen du wählen kannst und wie viele Positionen du besetzt, und der Rechner liefert die exakte Anzahl.
Gib die Anzahl der verschiedenen Elemente (n) und die Anzahl der Positionen (r) ein, um sofort die Gesamtzahl der geordneten Auswahlen, n^r, zu erhalten.
Wenn die Reihenfolge zählt und Elemente sich wiederholen dürfen, kann jede der r Positionen unabhängig eines der n Elemente sein, also multiplizierst du n r-mal mit sich selbst.
P = n^rJede Position multipliziert den laufenden Wert mit n, sodass die Anzahl exponentiell mit der Anzahl der Positionen wächst. Mit n = 10 Ziffern und r = 4 Positionen gibt es 10^4 = 10.000 PINs; eine fünfte Ziffer multipliziert das auf 100.000. Das Ergebnis ist dimensionslos — eine reine Anzahl verschiedener geordneter Auswahlen.
Angenommen, du möchtest jede mögliche 4-stellige PIN aus den zehn Ziffern 0–9 zählen.
n und r bestimmen
Es gibt n = 10 verschiedene Ziffern zur Auswahl, und du besetzt r = 4 Positionen der Reihe nach.
n hoch r rechnen
Jede Position kann unabhängig eine der 10 Ziffern sein, also ist die Anzahl 10^4.
Ergebnis ablesen
10^4 = 10.000 — es gibt genau 10.000 mögliche 4-stellige PINs, von 0000 bis 9999.
Das Ergebnis ist die Anzahl verschiedener geordneter Auswahlen, und zwei Merkmale prägen sie: Die Reihenfolge zählt und Wiederholungen sind erlaubt. Dass die Reihenfolge zählt, bedeutet, dass AB und BA getrennt gezählt werden — das Tauschen der Positionen ergibt eine andere Auswahl. Dass Wiederholungen erlaubt sind, bedeutet, dass ein in einer Position genutztes Element für die nächste weiterhin verfügbar ist, weshalb jede Position alle n Möglichkeiten behält und du n hoch r rechnest. Das unterscheidet Permutationen mit Wiederholung von den anderen kombinatorischen Zählungen. Gewöhnliche Permutationen ohne Wiederholung, nPr = n! ÷ (n − r)!, achten auch auf die Reihenfolge, verbrauchen aber jedes Element, sodass jede Position eine Möglichkeit weniger hat. Kombinationen, nCr = n! ÷ (r! (n − r)!), ignorieren die Reihenfolge ganz und liefern daher weit kleinere Anzahlen. Wenn du Elemente wiederverwenden kannst und die Anordnung wichtig ist — Codes, Passwörter, Kennzeichen, der Reihe nach notierte Würfe — ist n^r das richtige Modell, und es ist stets mindestens so groß wie die Anzahl ohne Wiederholung bei gleichem n und r.
Die Formel ist exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Verschiedene Elemente und ganze Positionen
Diese Zählung setzt n wirklich verschiedene Elemente voraus, die jeweils für jede Position gleichermaßen verfügbar sind; sind manche Elemente identisch, ist die wahre Anzahl unterscheidbarer Auswahlen kleiner. Die Anzahl der verschiedenen Elemente muss eine ganze Zahl von mindestens eins sein, und die Anzahl der Positionen muss eine nichtnegative ganze Zahl sein — bei 0 Positionen gibt es genau eine Anordnung, die leere Auswahl. Sehr große n oder r können Zahlen erzeugen, die nicht mehr exakt darstellbar sind, also behandle extreme Ergebnisse als Näherung.