Gleichschenkliges Dreieck Rechner
Aus der Basis und einem gleichen Schenkel erhältst du Fläche, Höhe, Umfang und beide Winkelarten — jede Zahl, die ein gleichschenkliges Dreieck beschreibt.
Zwei Eingaben, fünf Antworten
Gib die Basis und den Schenkel ein und der Rechner liefert auf einmal die Fläche (½ × Basis × Höhe), die Höhe, den Umfang, die beiden Basiswinkel und den Spitzenwinkel.
Der Schenkel muss die halbe Basis übertreffen
Für ein echtes Dreieck muss der Schenkel länger als die halbe Basis sein, sonst können sich die beiden gleichen Seiten nicht über der Basis treffen — bei einer flachen, entarteten Form liefert der Rechner nichts.
Was ist ein Gleichschenkliges-Dreieck-Rechner?
Basis und Schenkel rein, ganzes Dreieck raus
Ein Gleichschenkliges-Dreieck-Rechner macht aus zwei Größen — der Basis und einem der beiden gleichen Schenkel — die Zahlen, die die ganze Form beschreiben: die Fläche, die Höhe von der Basis hinauf zur Spitze, den Umfang, die beiden gleichen Basiswinkel und den einen Spitzenwinkel. Jede davon steht fest, sobald du Basis und Schenkel kennst, denn die beiden gleichen Seiten legen die Symmetrie eindeutig fest: Es gibt nur ein gleichschenkliges Dreieck mit dieser Basis und diesem Schenkel. Damit sind die beiden Eingaben alles, was du brauchst — für Dachgiebel, Zeltbahnen, Wimpel, Logoformen und jede Geometrieaufgabe, in der ein symmetrisches Dreieck vorkommt.
Gib die Basis und den gleichen Schenkel in einer beliebigen Längeneinheit ein, um Fläche, Höhe, Umfang und alle drei Winkel sofort zu erhalten.
Ein paar kurze Formeln, alle aus der Basis b und dem gleichen Schenkel a gebildet.
Höhe = √(a² − (b / 2)²)Die Höhe fällt ein Lot von der Spitze auf die Mitte der Basis und teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke; nach dem Satz des Pythagoras ist sie √(a² − (b/2)²). Die Fläche ist dann ½ × Basis × Höhe. Der Umfang ist 2 × a + b. Jeder Basiswinkel ist acos((b/2) / a), und der Spitzenwinkel ist, was nach den beiden gleichen Basiswinkeln übrig bleibt: 180 − 2 × Basiswinkel.
Angenommen, dein gleichschenkliges Dreieck hat eine Basis von 6 und gleiche Schenkel von 5.
Höhe
√(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 — das Lot von der Spitze (ein 3-4-5-Halbdreieck).
Fläche und Umfang
½ × 6 × 4 = 12 Quadrateinheiten, und 2 × 5 + 6 = 16 rundherum.
Winkel
Basiswinkel = acos(3 / 5) ≈ 53,130102°, Spitze = 180 − 2 × 53,130102 ≈ 73,739795°.
Die fünf Ergebnisse beantworten verschiedene praktische Fragen. Die Fläche (12 Quadrateinheiten bei Basis 6, Schenkel 5) ist der flache Raum, den das Dreieck bedeckt, praktisch für Stoff-, Segel- oder Farbschätzungen. Die Höhe (hier 4) ist der senkrechte Abstand von der Basis hinauf zur Spitze — der „Anstieg“ eines Giebels oder die Tiefe eines Wimpels — und immer kürzer als der Schenkel, weil der Schenkel nach außen geneigt ist. Der Umfang (16) ist die Strecke rundherum, nützlich für Leisten oder Einfassungen. Die beiden Basiswinkel sind aus Symmetrie gleich (hier etwa 53,13°), und der Spitzenwinkel (etwa 73,74°) sitzt oben; die wichtigste Erkenntnis: Alle drei ergeben immer zusammen 180°, also Spitze = 180 − 2 × Basiswinkel. Ein höheres, schmaleres Dreieck hat einen kleinen Spitzenwinkel und steile Basiswinkel; ein niedriges, breites einen weiten Spitzenwinkel und flache Basiswinkel.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Der Schenkel muss die halbe Basis übertreffen, und Einheiten gleich halten
Diese Formeln brauchen ein echtes gleichschenkliges Dreieck: Der gleiche Schenkel muss länger als die halbe Basis sein, damit sich die beiden Seiten über der Basis treffen können. Ist der Schenkel genau oder kleiner als die halbe Basis, kippt die Form flach um und der Rechner liefert kein Ergebnis. Basis und Schenkel sind außerdem einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: eine Basis und ein Schenkel in Zentimetern ergeben eine Höhe und einen Umfang in Zentimetern und eine Fläche in Quadratzentimetern, niemals eine Mischung. Die drei Winkel werden immer in Grad angegeben.