Ellipse-Exzentrizität Rechner
Aus den beiden Halbachsen erhältst du Exzentrizität, Brennweite und den Abstand der Brennpunkte — die Zahlen, die genau sagen, wie rund oder wie gestreckt eine Ellipse ist.
Zwei Achsen, drei Antworten
Gib die große Halbachse a und die kleine Halbachse b ein und der Rechner liefert auf einmal die Exzentrizität (c/a), die Brennweite c und den Brennpunktabstand (2c).
a muss die größere Achse sein
Die große Halbachse a muss mindestens so lang sein wie die kleine Halbachse b. Gibst du für a einen kleineren Wert ein, sind die Eingaben vertauscht und es wird kein Ergebnis angezeigt.
Was ist ein Ellipse-Exzentrizität-Rechner?
Zwei Achsen rein, Form des Ovals raus
Ein Ellipse-Exzentrizität-Rechner macht aus den beiden halben Breiten einer Ellipse — der großen Halbachse a (die lange) und der kleinen Halbachse b (die kurze) — eine einzige Zahl, die ihre Form erfasst: die Exzentrizität e. Sie läuft von 0, einem perfekten Kreis, hinauf gegen 1, einem immer längeren und dünneren Oval. Daneben findet der Rechner die Brennpunkte, die beiden besonderen inneren Punkte, die die Ellipse definieren, indem er die Brennweite c vom Mittelpunkt zu jedem Brennpunkt und den Abstand 2c zwischen ihnen berechnet. Diese tauchen überall auf, von Planetenbahnen und Satellitenwegen über die Optik bis zu Flüstergewölben und CAD.
Gib die große und die kleine Halbachse ein, um Exzentrizität, Brennweite und Brennpunktabstand sofort zu erhalten.
Zwei kurze Formeln, gebildet aus den beiden Halbachsen a und b.
e = √(a² − b²) / aBestimme zuerst die Brennweite c = √(a² − b²) — den Abstand vom Mittelpunkt zu jedem Brennpunkt, direkt aus dem Zusammenhang a² = b² + c². Die Exzentrizität ist dann e = c / a, die Brennweite als Bruchteil der großen Halbachse. Der Abstand zwischen den beiden Brennpunkten ist einfach 2c.
Angenommen, eine Ellipse hat eine große Halbachse von 5 und eine kleine Halbachse von 3.
Brennweite
c = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 — Mittelpunkt zu jedem Brennpunkt.
Brennpunktabstand
2 × 4 = 8 — der Abstand zwischen den beiden Brennpunkten.
Exzentrizität
e = c / a = 4 / 5 = 0,8 — eine deutlich gestreckte Ellipse.
Die Exzentrizität ist die zentrale Zahl, und sie lebt auf einer festen Skala von 0 bis knapp unter 1. Bei e = 0 sind die beiden Achsen gleich und die Ellipse ist ein perfekter Kreis, ihre Brennpunkte fallen im Mittelpunkt zusammen. Wächst e, streckt sich die Ellipse: 0,8 (hier für a = 5, b = 3) ist eine deutlich ovale Form, und Werte nahe 1 sind lange, dünne Schlitze. Zum Vergleich: Die Erdbahn hat eine Exzentrizität von etwa 0,017 — so fast kreisförmig, dass sie dem Auge rund erscheint — während ein Komet 0,9 überschreiten kann. Die Brennweite c sagt dir, wie weit jeder Brennpunkt vom Mittelpunkt entlang der langen Achse sitzt, und der Abstand 2c ist die Lücke zwischen ihnen; je größer sie im Verhältnis zu a sind, desto exzentrischer die Form. Eine praktische Eigenschaft: Jeder Punkt der Ellipse hat dieselbe Gesamtentfernung (2a) zu den beiden Brennpunkten, weshalb eine an den Brennpunkten befestigte Schnurschlaufe die Kurve nachzeichnet. Kommt deine Exzentrizität genau auf 0 heraus, prüfe nochmal, ob du wirklich einen Kreis meintest und nicht die längere Achse verwechselt hast.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Halbachsen, Achsenreihenfolge und einheitliche Einheiten
Diese Formeln nehmen die Halbachsen (halbe Breiten), nicht die vollen Durchmesser — hast du die vollen langen und kurzen Breiten gemessen, halbiere sie zuerst. Die große Halbachse a muss der größere Wert sein; ein kleineres a als b einzugeben ist eine vertauschte Ellipse und liefert kein Ergebnis, weil a² − b² negativ würde. Die Exzentrizität selbst ist ein reines Verhältnis ohne Einheit, doch Brennweite und Brennpunktabstand kommen in derselben Längeneinheit zurück, die du für die Achsen genutzt hast — halte also durchgängig eine Einheit.