Ellipsen Umfang-Rechner
Aus den beiden Halbachsen erhältst du die Strecke einmal um jedes Oval — mit Ramanujans berühmt präziser Näherung.
Zwei Halbachsen, eine Antwort
Gib die große Halbachse (a) und die kleine Halbachse (b) ein und der Ellipsen-Umfang-Rechner liefert sofort die Strecke um den Rand.
Hälften, nicht volle Breiten
Die Halbachsen sind die Hälften des langen und kurzen Durchmessers — ein Oval mit 10 mal 6 hat a = 5 und b = 3, nicht 10 und 6.
Was ist ein Ellipsen-Umfang-Rechner?
Zwei Halbachsen rein, Umfang raus
Ein Ellipsen-Umfang-Rechner macht aus zwei Größen — der großen Halbachse a und der kleinen Halbachse b — die Strecke einmal um den Rand eines Ovals. Die Halbachsen sind die Hälften des längsten und des kürzesten Durchmessers, gemessen vom Mittelpunkt bis zum Rand. Damit sind sie die beiden Eingaben, die du brauchst — für ovale Tische und Spiegel, Laufbahnen, elliptische Gärten und Teiche und für die Bahnen der Planeten, die Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt beschreiben. Anders als ein Kreis hat eine Ellipse keine einfache exakte Umfangsformel, deshalb nutzt dieses Tool Ramanujans berühmte Näherung.
Gib die beiden Halbachsen in einer beliebigen Längeneinheit ein, um den Ellipsenumfang sofort zu erhalten.
Der Umfang hat keine einfache exakte Formel, deshalb nutzt er eine berühmte Näherung.
U ≈ π × [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]Der exakte Umfang einer Ellipse braucht ein elliptisches Integral, das keine elementare geschlossene Form hat. Deshalb nutzt dieses Tool Ramanujans zweite Näherung, π × [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]: Addiere die Halbachsen, skaliere und ziehe einen Wurzel-Korrekturterm ab und multipliziere dann mit π (etwa 3,14159). Sie ist für Ovale gewöhnlicher Exzentrizität auf besser als ein Millionstel genau.
Angenommen, du hast eine Ellipse mit einer großen Halbachse von 5 und einer kleinen Halbachse von 3.
Halbachsen addieren und skalieren
3 × (5 + 3) = 3 × 8 = 24 — das Dreifache der Summe der Achsen.
Korrekturterm berechnen
√((3·5 + 3)(5 + 3·3)) = √(18 × 14) = √252 ≈ 15,874508 — der Wurzelterm.
Subtrahieren und mit π multiplizieren
π × (24 − 15,874508) = 25,526986 Einheiten — der Umfang einmal um den Rand.
Der Umfang (etwa 25,526986 Einheiten bei a = 5, b = 3) ist die Strecke einmal um den Rand — die Zierleiste, die du um einen ovalen Spiegel führst, der Zaun um ein elliptisches Beet oder die Länge einer Runde auf einer ovalen Bahn. Der häufigste Fehler ist, die vollen Durchmesser statt der Halbachsen zu nehmen: Die Achsen sind Hälften, ein Oval mit 10 Breite und 6 Höhe hat also a = 5 und b = 3, nicht 10 und 6 — gibst du die vollen Breiten ein, verdoppelt sich der Umfang. Eine zweite Erkenntnis ist der Bezug zum Kreis: Ist a gleich b, wird die Ellipse zu einem Kreis mit Radius r, und Ramanujans Formel wird zum bekannten 2 × π × r. Ein Kreis ist also nur eine perfekt symmetrische Ellipse, und über den Umfang eines Ovals nachzudenken heißt, über einen gestreckten Kreis nachzudenken. Die Genauigkeit hängt zudem von der Form ab: Für rundliche Ovale ist die Schätzung praktisch exakt, während sehr lange, dünne Ellipsen einen etwas größeren Fehler einbringen.
Der Umfang ist eine Näherung, und deine Eingaben verdienen einen zweiten Blick.
Genäherter Umfang und einheitliche Einheiten
Dies ist Ramanujans Näherung, kein exakter Wert — ein exakter Ellipsenumfang braucht ein elliptisches Integral. Die Schätzung ist für moderate Exzentrizitäten auf besser als ein Millionstel genau, doch der Fehler wächst bei sehr langen, dünnen Ellipsen, bei denen eine Achse die andere weit übertrifft. Die Halbachsen sind außerdem einheitenunabhängig, das Ergebnis ist also nur dann sinnvoll, wenn du bei beiden Eingaben durchgängig eine Einheit verwendest: Halbachsen in Zentimetern ergeben einen Umfang in Zentimetern, niemals eine Mischung.