Ellipsen Flächenrechner
Aus den beiden Halbachsen erhältst du Fläche und Umfang — die Zahlen, die jedes Oval beschreiben, vom Esstisch bis zur Planetenbahn.
Zwei Halbachsen, zwei Antworten
Gib die große Halbachse (a) und die kleine Halbachse (b) ein und der Rechner liefert auf einmal die Fläche (πab) und den Umfang.
Hälften, nicht volle Breiten
Die Halbachsen sind die Hälften des langen und kurzen Durchmessers — ein Oval mit 10 mal 6 hat a = 5 und b = 3, nicht 10 und 6.
Was ist ein Ellipsen-Flächenrechner?
Zwei Halbachsen rein, ganze Ellipse raus
Ein Ellipsen-Flächenrechner macht aus zwei Größen — der großen Halbachse a und der kleinen Halbachse b — die Zahlen, die ein Oval beschreiben: den umschlossenen Platz und die Strecke um den Rand. Die Halbachsen sind die Hälften des längsten und des kürzesten Durchmessers, gemessen vom Mittelpunkt bis zum Rand. Damit sind sie die beiden Eingaben, die du brauchst — für ovale Tische und Spiegel, Laufbahnen, elliptische Gärten und Teiche und für die Bahnen der Planeten, die Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt beschreiben. Sind beide Halbachsen gleich, ist die Ellipse schlicht ein Kreis.
Gib die beiden Halbachsen in einer beliebigen Längeneinheit ein, um Fläche und Umfang sofort zu erhalten.
Die Fläche ist exakt und einfach; der Umfang nutzt eine berühmte Näherung.
Fläche = π × a × bDie Fläche ist π × a × b: Multipliziere die beiden Halbachsen miteinander und dann mit π (etwa 3,14159). Für den Umfang gibt es keine einfache exakte Formel — der genaue Wert braucht ein elliptisches Integral — deshalb nutzt dieses Tool Ramanujans Näherung, π × [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))], die für gewöhnliche Formen bis auf einen winzigen Bruchteil eines Prozents genau ist.
Angenommen, du hast eine Ellipse mit einer großen Halbachse von 5 und einer kleinen Halbachse von 3.
Fläche
π × 5 × 3 = π × 15 = 47,123890 Quadrateinheiten — der Platz darin.
Umfang
π × [3(5 + 3) − √((3·5 + 3)(5 + 3·3))] = 25,526986 — die Strecke um den Rand.
Plausibilitätscheck
Die vollen Durchmesser sind 10 und 6, das Oval ist also breiter als hoch — und seine Fläche liegt zwischen einem 10 breiten und einem 6 breiten Kreis.
Die beiden Ergebnisse beantworten zwei verschiedene Alltagsfragen. Die Fläche (etwa 47,123890 Quadrateinheiten bei a = 5, b = 3) ist der Platz, den du bedeckst — das Glas auf einem ovalen Tisch, die Erde in einem elliptischen Gartenbeet, der Rasen im Innenfeld einer Laufbahn. Der Umfang (etwa 25,526986) ist die Strecke einmal um den Rand — die Zierleiste, die du um einen ovalen Spiegel führst, oder die Länge einer Runde. Der häufigste Fehler ist, die vollen Durchmesser statt der Halbachsen zu nehmen: Die Achsen sind Hälften, ein Oval mit 10 Breite und 6 Höhe hat also a = 5 und b = 3, nicht 10 und 6 — gibst du die vollen Breiten ein, vervierfacht sich die Fläche. Eine zweite Erkenntnis ist der Bezug zum Kreis: Ist a gleich b, wird die Ellipse zu einem Kreis mit Radius r, die Fläche π × a × b wird zu π × r² und der Umfang reduziert sich auf 2 × π × r. Ein Kreis ist also nur eine perfekt symmetrische Ellipse, und über Ovale nachzudenken heißt, über gestreckte Kreise nachzudenken.
Die Fläche ist exakt, doch der Umfang und deine Eingaben verdienen einen zweiten Blick.
Genäherter Umfang und einheitliche Einheiten
Der Umfang ist Ramanujans Näherung, kein exakter Wert — für gewöhnliche Ovale ist er extrem nah dran, weicht aber bei sehr langen, dünnen Ellipsen leicht ab, bei denen eine Achse die andere weit übertrifft. Die Halbachsen sind außerdem einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur dann sinnvoll, wenn du bei beiden Eingaben durchgängig eine Einheit verwendest: Halbachsen in Zentimetern ergeben einen Umfang in Zentimetern und eine Fläche in Quadratzentimetern, niemals eine Mischung.