Satz von Steiner Rechner
Gib das Trägheitsmoment um den Schwerpunkt, die Masse und den Abstand zur neuen Achse ein, um das Trägheitsmoment um jede parallele Achse zu erhalten — I = I_S + m·d².
Achse sofort verschieben
Gib I_S, die Masse und den Abstand ein und der Rechner liefert das Trägheitsmoment um die parallele Achse mit I = I_S + m·d².
SI-Einheiten verwenden
Trägheitsmoment in kg·m², Masse in Kilogramm und Abstand in Metern ergeben das Ergebnis in kg·m² — halte die Achsen parallel.
Was ist der Satz von Steiner?
Die Drehachse verschieben
Der Steiner-Satz-Rechner ermittelt das Trägheitsmoment eines Körpers um eine Achse, die parallel zu einer Achse durch seinen Schwerpunkt verläuft. Der Satz von Steiner besagt, dass du das Schwerpunkt-Trägheitsmoment I_S nimmst und die Masse mal dem Quadrat des Abstands zwischen den beiden Achsen addierst: I = I_S + m·d². Er macht aus drei Größen — dem Trägheitsmoment um den Schwerpunkt in kg·m², der Masse in Kilogramm und dem senkrechten Abstand in Metern — das Trägheitsmoment um die verschobene Achse. Das ist die Zahl hinter einer schwingenden Pendelstange, einem außermittig gelagerten Rad und jedem starren Körper, der sich um eine Achse dreht, die nicht durch seinen eigenen Schwerpunkt geht.
Gib das Schwerpunkt-Trägheitsmoment, die Masse und den Abstand zwischen den Achsen ein, um sofort das Trägheitsmoment um die parallele Achse zu erhalten.
Das Trägheitsmoment um die parallele Achse ist das Schwerpunkt-Trägheitsmoment plus die Masse multipliziert mit dem Quadrat des Abstands zwischen den Achsen.
I = I_S + m × d²Der Abstand wird quadriert, deshalb erzeugt eine kleine Änderung von d eine große Änderung des addierten Terms. Weil m·d² nie negativ sein kann, ist das Ergebnis immer mindestens I_S — die Schwerpunktachse trägt für jede gegebene Richtung das kleinstmögliche Trägheitsmoment. Verwende kg·m², Kilogramm und Meter, dann kommt das Ergebnis in kg·m² zurück.
Angenommen, ein Körper hat ein Schwerpunkt-Trägheitsmoment von 2 kg·m², eine Masse von 5 kg, und du verschiebst die Drehachse um 3 m.
Abstand quadrieren
3² = 9 — der quadrierte Abstand, der den addierten Term antreibt.
Mit der Masse multiplizieren
5 × 9 = 45 — die Masse mal dem Abstand zum Quadrat, in kg·m².
Schwerpunkt-Trägheitsmoment addieren
2 + 45 = 47 kg·m² — das Trägheitsmoment um die parallele Achse.
Das Ergebnis sagt dir, wie schwer sich der Körper um die verschobene Achse winkelbeschleunigen lässt. Im Beispiel oben stieg das Trägheitsmoment von 2 kg·m² um den Schwerpunkt auf 47 kg·m² um eine 3 m entfernte Achse — mehr als das Zwanzigfache. Die entscheidende Erkenntnis: Verschiebst du die Achse vom Schwerpunkt weg, steigt das Trägheitsmoment immer um genau m·d² und sinkt nie, weil die Masse positiv ist und der Abstand quadriert wird. Da der Abstand als Quadrat eingeht, vervierfacht eine Verdopplung von d den addierten Term: Bei d = 6 m wächst der Term von 45 auf 180 kg·m², viermal so groß, sodass die Summe 182 kg·m² wird. Deshalb lässt sich eine weit vom Drehpunkt entfernte Masse so viel schwerer in Drehung versetzen als dieselbe Masse nahe daran, und deshalb ist die Schwerpunktachse stets die, um die sich am leichtesten drehen lässt. Das Schwerpunkt-Trägheitsmoment und die Masse zählen auch, doch der Abstand ist der Hebel, der das Ergebnis am stärksten bewegt.
Die Formel ist exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Parallele Achsen und der richtige Abstand
Der Satz von Steiner gilt nur, wenn die beiden Achsen wirklich parallel sind, und d muss der senkrechte Abstand zwischen ihnen sein — nicht der Abstand zu einem beliebigen Punkt. Die Bezugsachse muss durch den Schwerpunkt verlaufen; liegt dein bekanntes Trägheitsmoment um eine andere Achse, kannst du nicht einfach einen zweiten m·d²-Term addieren. Halte deine Einheiten durchgängig gleich — kg·m² für das Trägheitsmoment, Kilogramm für die Masse und Meter für den Abstand —, sonst stimmt das Ergebnis nicht.