Schwerpunkt Rechner
Gib zwei Massen und ihre Positionen auf einer Linie ein, um den Schwerpunkt zu erhalten — den einen Gleichgewichtspunkt — und sieh, warum er stets zur schwereren Masse neigt.
Der Gleichgewichtspunkt in einer Zahl
Gib beide Massen und beide Positionen ein und der Rechner liefert den Schwerpunkt — den Punkt, an dem das System aus zwei Massen im Gleichgewicht wäre.
Eine Achse verwenden
Miss beide Positionen vom selben Ursprung auf derselben Linie. Positionen links vom Ursprung sind negativ — das ist in Ordnung.
Was ist der Schwerpunkt?
Der Gleichgewichtspunkt des Systems
Der Schwerpunkt-Rechner findet den einen Punkt, an dem zwei Punktmassen auf einer Linie im Gleichgewicht wären — den mit der Masse gewichteten Mittelwert ihrer Positionen. Gib ihm die zwei Massen in Kilogramm und ihre Positionen in Metern, und er liefert den Schwerpunkt in Metern. Das ist der Punkt, an dem sich das gesamte System für viele Zwecke so verhält, als wäre die gesamte Masse dort vereint, und er ist die Grundlage dafür, wie Wippen, Balkenwaagen und Doppelsternsysteme sich verhalten.
Gib zwei Massen und ihre Positionen auf einer Linie ein, um sofort den genauen Gleichgewichtspunkt in Metern zu erhalten.
Der Schwerpunkt ist die Summe aus jeder Masse mal ihrer Position, geteilt durch die Gesamtmasse.
x_s = (m1 × x1 + m2 × x2) / (m1 + m2)Jede Masse mal ihrer Position heißt ihr Moment um den Ursprung. Addiere die zwei Momente, teile durch die kombinierte Masse, und du erhältst die Position, an der das System im Gleichgewicht ist. Weil die schwerere Masse ein größeres Moment beiträgt, wird das Ergebnis zu ihr hingezogen.
Angenommen, eine Masse von 2 kg liegt bei 0 m und eine Masse von 3 kg bei 10 m auf derselben Linie.
Jedes Moment berechnen
2 × 0 = 0 und 3 × 10 = 30 — jede Masse mal ihrer Position.
Momente und Massen addieren
Momente: 0 + 30 = 30. Gesamtmasse: 2 + 3 = 5.
Teilen
30 / 5 = 6 m — der Schwerpunkt, näher an der schwereren Masse von 3 kg bei 10 m.
Der Schwerpunkt sagt dir, wo das System aus zwei Massen im Gleichgewicht ist. Die entscheidende Erkenntnis: Der Gleichgewichtspunkt verschiebt sich stets zur schwereren Masse. Im Beispiel oben landet der Punkt bei 6 m — jenseits der Mitte von 5 m und näher an der Masse von 3 kg bei 10 m. Machst du die zweite Masse noch schwerer, rutscht der Punkt näher zu ihr; machst du beide Massen gleich, setzt sich der Punkt genau auf die Mitte, den schlichten Durchschnitt der beiden Positionen. Die Positionswerte dürfen negativ, null oder positiv sein, und das gilt auch für die Antwort — sie markiert einfach die Stelle auf deiner Achse, an der die kombinierte Masse im Gleichgewicht ist. Deshalb sitzt ein leichteres Kind weiter vom Drehpunkt einer Wippe entfernt, um ein schwereres auszugleichen, und deshalb umkreisen zwei Sterne einen Punkt, der im massereicheren liegt.
Die Formel ist für den beschriebenen Fall exakt, doch es lohnt sich zu wissen, wo sie aufhört.
Zwei Punktmassen auf einer einzigen Linie
Dieser Rechner behandelt genau zwei Punktmassen, die auf einer einzigen Linie angeordnet sind — einen eindimensionalen Zwei-Körper-Fall. Er erfasst weder die Form eines Körpers, drei oder mehr Massen, noch eine Bewegung abseits der Linie in zwei oder drei Dimensionen, die jeweils die volle Mehrpunkt- oder Integralform der Schwerpunktformel benötigen. Der Fall gleicher Massen ist der besondere: Stimmen beide Massen überein, ist der Schwerpunkt einfach die Mitte zwischen den beiden Positionen.