Torus-Oberfläche Rechner
Aus einem großen und einem kleinen Radius erhältst du Oberfläche und Volumen — die zwei Zahlen, die jeden Ringtorus beschreiben.
Zwei Eingaben, zwei Antworten
Gib den großen Radius R und den kleinen Radius r ein und der Rechner liefert auf einmal die Oberfläche (4π²Rr) und das Volumen (2π²Rr²).
R muss größer als r sein
Ein Ringtorus braucht einen großen Radius, der größer als der kleine Radius ist — sonst überlappt sich die Röhre selbst und die Formeln beschreiben keinen Donut mehr.
Was ist ein Torus-Oberflächen-Rechner?
Zwei Radien rein, ganzer Donut raus
Ein Torus-Oberflächen-Rechner macht aus zwei Größen — dem großen Radius R (Mittelpunkt des Donuts bis zum Mittelpunkt der Röhre) und dem kleinen Radius r (dem Radius der Röhre selbst) — die Zahlen, die einen ganzen Ringtorus beschreiben: die Fläche seiner äußeren Haut (Oberfläche) und wie viel er fasst (Volumen). Jede davon steht fest, sobald du R und r kennst, denn jeder Torus teilt sich dieselbe Konstante π (Pi). Damit sind diese beiden Eingaben alles, was du brauchst — für O-Ringe, Schläuche, Donuts, Rettungsringe und jede Geometrieaufgabe, in der eine Ringform vorkommt.
Gib den großen und den kleinen Radius in einer beliebigen Längeneinheit ein, um Oberfläche und Volumen sofort zu erhalten.
Zwei kurze Formeln, beide aus dem großen Radius R, dem kleinen Radius r und der Konstante π (etwa 3,14159) gebildet.
Oberfläche = 4 × π² × R × rDie Oberfläche ist die äußere Haut des Rings — 4 × π² × R × r. Das Volumen, der Raum innerhalb der Röhre, ist 2 × π² × R × r². Beide folgen aus dem Satz von Pappus: Ein Torus ist ein Kreis mit Radius r, der um eine Achse im Abstand R gedreht wird, also ist die Oberfläche der Umfang der Röhre (2πr) mal der Weg ihres Mittelpunkts (2πR) und das Volumen die Fläche der Röhre (πr²) mal derselbe Weg.
Angenommen, du hast einen Torus mit einem großen Radius von 5 und einem kleinen Radius von 2.
Volumen
2 × π² × 5 × 2² = 2 × π² × 5 × 4 = 394,784176 Kubikeinheiten — der Platz innerhalb der Röhre.
Oberfläche
4 × π² × 5 × 2 = 394,784176 Quadrateinheiten — die äußere Haut (die beiden Antworten stimmen nur bei genau diesen Zahlen überein).
Die beiden Ergebnisse beantworten zwei verschiedene Alltagsfragen. Die Oberfläche (etwa 394,784176 Quadrateinheiten bei R = 5, r = 2) ist die äußere Haut des Rings — die Fläche, die du streichen, beschichten oder einwickeln würdest, praktisch zum Beschichten eines O-Rings oder zum Schätzen des Zuckergusses auf einem Donut. Das Volumen (hier ebenfalls etwa 394,784176, ein Zufall dieser Eingaben) ist, wie viel die Röhre fasst — der Gummi in einem Schlauch, die Luft in einem Rettungsring, der Teig in einem Donut. Die wichtigste Erkenntnis: Beide Zahlen wachsen mit dem Produkt R × r — verdopple einen der Radien und die Oberfläche verdoppelt sich auch, während das Volumen mit R × r² wächst, die Dicke der Röhre also doppelt zählt. π steht in beiden Formeln im Quadrat, weil ein Torus aus zwei Kreisen aufgebaut ist — einer um den anderen gedreht — und jeder sein eigenes π beisteuert. Halte R deutlich über r und du hast einen sauberen Ring; lässt du r an R heranreichen, schrumpft das Loch zu einem „Horntorus“, bei dem sich der innere Rand gerade berührt.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Ringtori und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben einen Ringtorus — eine kreisförmige Röhre, deren großer Radius R streng größer als ihr kleiner Radius r ist, sodass das Loch in der Mitte offen bleibt. Ist r gleich oder größer als R, überlappt sich die Röhre selbst (ein Horn- oder Spindeltorus) und die Formeln für Oberfläche und Volumen gelten nicht mehr, also gibt der Rechner nichts zurück. Die beiden Radien sind außerdem einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur dann sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: Radien in Zentimetern ergeben eine Oberfläche in Quadratzentimetern und ein Volumen in Kubikzentimetern, niemals eine Mischung.