Regelmäßige Vielecke Rechner
Aus der Anzahl der Seiten und einer Seitenlänge erhältst du Umfang, Apothem und Flächeninhalt — die drei Zahlen, die jedes regelmäßige Vieleck beschreiben.
Zwei Eingaben, drei Antworten
Gib die Anzahl der Seiten und die Seitenlänge ein und der Rechner liefert auf einmal den Umfang (n × s), das Apothem (s/(2·tan(π/n))) und den Flächeninhalt (½ × Umfang × Apothem).
Nur regelmäßige Vielecke
Diese Formeln setzen ein regelmäßiges Vieleck voraus — jede Seite gleich, jeder Winkel gleich. Unterscheiden sich Seiten oder Winkel, zerlege die Form stattdessen in Dreiecke.
Was ist ein Rechner für regelmäßige Vielecke?
Seiten und Länge rein, ganzes Vieleck raus
Ein Rechner für regelmäßige Vielecke macht aus zwei Größen — wie viele gleich lange Seiten die Form hat und wie lang jede Seite ist — die Zahlen, die ein ganzes regelmäßiges Vieleck beschreiben: die Strecke ringsum (Umfang), den Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite (Apothem) und die eingeschlossene Fläche (Flächeninhalt). Weil jede Seite und jeder Winkel gleich ist, legen diese beiden Eingaben die Form vollständig fest. Damit hast du alles für ein gleichseitiges Dreieck (3 Seiten), ein Quadrat (4), ein regelmäßiges Sechseck (6) oder jede Parkettierung, Mutter, Schraubenkopf oder Geometrieaufgabe, in der ein regelmäßiges Vieleck vorkommt.
Gib die Anzahl der Seiten und eine Seitenlänge ein, um Umfang, Apothem und Flächeninhalt sofort zu erhalten.
Ein regelmäßiges Vieleck hat gleiche Seiten und gleiche Winkel, deshalb beschreiben es drei kurze Formeln aus der Anzahl der Seiten n, der Seitenlänge s und der Konstante π vollständig.
Fläche = ½ × Umfang × ApothemDer Umfang ist einfach n × s, die gesamte Strecke ringsum. Das Apothem ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite — der Radius des größten Kreises, der hineinpasst — und ist s / (2 × tan(π/n)). Multipliziere den halben Umfang mit dem Apothem und du erhältst die Fläche: ½ × Umfang × Apothem.
Angenommen, du hast ein regelmäßiges Sechseck (6 Seiten) mit einer Seitenlänge von 4.
Umfang
6 × 4 = 24 — die gesamte Strecke um das Sechseck.
Apothem
4 / (2 × tan(π/6)) = 4 / (2 × 0,577350) ≈ 3,464102 — Mittelpunkt zur Seitenmitte.
Flächeninhalt
(24 × 3,464102) ÷ 2 ≈ 41,569219 Quadrateinheiten — die eingeschlossene Fläche.
Die drei Ergebnisse beantworten drei verschiedene praktische Fragen. Der Umfang (24 für ein Sechseck mit Seite 4) ist, wie viel Kante du abgehen, einzäunen oder rahmen würdest — die Strecke einmal ringsum. Das Apothem (hier etwa 3,464102) ist der Abstand vom Mittelpunkt gerade hinaus zur Mitte einer Seite; es ist der Radius des größten Kreises, der ins Vieleck passt, weshalb es bei Muttern, Schraubenköpfen und allem zählt, was an einer Fläche sitzen muss. Der Flächeninhalt (etwa 41,569219 Quadrateinheiten) ist die eingeschlossene Fläche — das Material zum Zuschneiden, der Boden zum Fliesen, die Fläche zum Streichen. Die wichtigste Erkenntnis ist die Verbindung zum Kreis: Fügst du Seiten hinzu und hältst die Form gleich groß, wird der Umriss des Vielecks glatter und seine Fläche nähert sich der Fläche eines Kreises. Ein gleichseitiges Dreieck (3 Seiten) ist das schlankste regelmäßige Vieleck, ein Quadrat (4) das vertrauteste und ein Sechseck (6) jenes, zu dem die Natur in Bienenwaben greift, weil es eine Ebene lückenlos parkettiert. Denk daran, dass alle drei Ergebnisse ein wirklich regelmäßiges Vieleck voraussetzen — durchgehend gleiche Seiten und gleiche Winkel.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Regelmäßige Vielecke und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben ein perfektes regelmäßiges Vieleck — jede Seite gleich lang und jeder Innenwinkel gleich. Ein unregelmäßiges Vieleck (mit abweichenden Seiten oder Winkeln) passt nicht zum berechneten Wert; zerlege es dafür in Dreiecke und addiere deren Flächen. Die Seitenlänge ist außerdem einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur dann sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: eine Seitenlänge in Zentimetern ergibt einen Umfang und ein Apothem in Zentimetern und eine Fläche in Quadratzentimetern, niemals eine Mischung.