Achteck Rechner
Aus einer einzigen Seitenlänge erhältst du Fläche, Umfang, Inkreisradius und Umkreisradius — jede Größe, die ein regelmäßiges Achteck beschreibt.
Eine Eingabe, vier Antworten
Gib die Seitenlänge ein und der Rechner liefert auf einmal die Fläche (2(1+√2)s²), den Umfang (8s), den Inkreisradius (((1+√2)/2)s) und den Umkreisradius ((√(4+2√2)/2)s).
Nur regelmäßige Achtecke
Diese Formeln setzen voraus, dass alle acht Seiten und alle acht Winkel gleich sind. Ein unregelmäßiges Achteck braucht ein anderes Verfahren, und deine Ergebnisse kommen in derselben Einheit zurück, die du eingibst (quadriert bei der Fläche).
Was ist ein Achteck-Rechner?
Eine Seite rein, das ganze Achteck raus
Ein Achteck-Rechner macht aus einer einzigen Größe — der Länge einer Seite — alle Zahlen, die ein regelmäßiges Achteck beschreiben: die Fläche, die es bedeckt, die Strecke ringsherum (Umfang), den Inkreisradius (Mittelpunkt zur Mitte einer Kante) und den Umkreisradius (Mittelpunkt zur Ecke). Weil ein regelmäßiges Achteck perfekt symmetrisch ist, sind alle acht Seiten gleich lang, sodass diese eine Eingabe alles Übrige festlegt. Achtecke sind vertraute Formen: das Stoppschild, Pavillons und Gartenlauben, achteckige Tische und Spiegel, Schirmdächer und viele Fliesenmuster. Ob du einen Pavillonboden baust, eine Tischplatte zuschneidest oder ein Arbeitsblatt löst — die Seitenlänge ist alles, was du brauchst.
Gib eine Seitenlänge in einer beliebigen Einheit ein, um Fläche, Umfang, Inkreisradius und Umkreisradius sofort zu erhalten.
Eine Handvoll kurzer Formeln, alle aus der Seitenlänge s und der Wurzel aus 2 (≈ 1,414) gebildet.
Fläche = 2 × (1 + √2) × s²Ein regelmäßiges Achteck ist ein Quadrat, dem die vier Ecken im 45°-Winkel abgeschnitten wurden — daher das √2. Der Umfang ist einfach 8 × s. Der Inkreisradius — der Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite — ist ((1 + √2) / 2) × s. Der Umkreisradius — der Abstand vom Mittelpunkt hinaus zu einer Ecke — ist (√(4 + 2√2) / 2) × s und immer ein wenig länger als der Inkreisradius.
Angenommen, du hast ein regelmäßiges Achteck mit einer Seite von 6.
Umfang
8 × 6 = 48 — die Strecke einmal herum.
Inkreisradius und Umkreisradius
Inkreisradius = ((1 + √2) / 2) × 6 = 7,242641, Umkreisradius = (√(4 + 2√2) / 2) × 6 = 7,839378.
Fläche
2 × (1 + √2) × 6² = 173,823376 Quadrateinheiten — die Fläche innen.
Die Ergebnisse beantworten verschiedene praktische Fragen. Die Fläche (etwa 173,823376 Quadrateinheiten bei s = 6) ist, wie viel Fläche das Achteck bedeckt — der Pavillonboden, die Tischplatte, das zu verfliesende Stück Boden. Der Umfang (hier 48) ist die Einfassung, die ringsherum läuft. Der Inkreisradius (etwa 7,242641) ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Kante, der Radius des größten Kreises, der hineinpasst, und genau die halbe Breite über die Flächen — praktisch, um ein Achteck in eine quadratische Öffnung einzupassen. Der Umkreisradius (etwa 7,839378) ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Ecke, der Radius des kleinsten Kreises, der es umschließt — das, was du am Zirkel einstellst, um die acht Ecken abzutragen. Eine nützliche Tatsache: Der Umkreisradius ist immer größer als der Inkreisradius, denn eine Ecke ist weiter vom Mittelpunkt entfernt als die Mitte einer Seite, und die Breite über die Flächen eines regelmäßigen Achtecks (das Doppelte des Inkreisradius) ist etwa das 2,414-Fache der Seitenlänge.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Regelmäßige Achtecke und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben ein perfektes regelmäßiges Achteck — acht gleiche Seiten und acht gleiche 135°-Winkel. Ein unregelmäßiges Achteck (mit unterschiedlichen Seiten oder Winkeln) passt nicht zu diesen Ergebnissen; zerlege es stattdessen in Dreiecke. Die Seitenlänge ist außerdem einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur dann sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: eine Seite in Zentimetern ergibt eine Fläche in Quadratzentimetern und einen Umkreisradius in Zentimetern, niemals eine Mischung.