Pentagon Rechner
Aus einer einzigen Seitenlänge erhältst du Fläche, Umfang, Inkreisradius und Umkreisradius — jede Größe, die ein regelmäßiges Fünfeck beschreibt.
Eine Eingabe, vier Antworten
Gib die Seitenlänge ein und der Rechner liefert auf einmal die Fläche (¼√(5(5+2√5))s²), den Umfang (5s), den Inkreisradius (s/(2·tan36°)) und den Umkreisradius (s/(2·sin36°)).
Nur regelmäßige Fünfecke
Diese Formeln setzen voraus, dass alle fünf Seiten und alle fünf Winkel gleich sind. Ein unregelmäßiges Fünfeck braucht ein anderes Verfahren, und deine Ergebnisse kommen in derselben Einheit zurück, die du eingibst (quadriert bei der Fläche).
Was ist ein Pentagon-Rechner?
Eine Seite rein, das ganze Fünfeck raus
Ein Pentagon-Rechner macht aus einer einzigen Größe — der Länge einer Seite — alle Zahlen, die ein regelmäßiges Fünfeck beschreiben: die Fläche, die es bedeckt, die Strecke ringsherum (Umfang), den Inkreisradius (Mittelpunkt zur Mitte einer Kante) und den Umkreisradius (Mittelpunkt zur Ecke). Weil ein regelmäßiges Fünfeck perfekt symmetrisch ist, sind alle fünf Seiten gleich lang, sodass diese eine Eingabe alles Übrige festlegt. Fünfecke tauchen in Fußball-Flicken, im Pentagon-Gebäude, in der Home-Plate beim Baseball, in Schulwappen und in vielen Geometrieaufgaben auf. Ob du ein fünfeckiges Paneel zuschneidest, ein Logo bemisst oder ein Arbeitsblatt löst — die Seitenlänge ist alles, was du brauchst.
Gib eine Seitenlänge in einer beliebigen Einheit ein, um Fläche, Umfang, Inkreisradius und Umkreisradius sofort zu erhalten.
Eine Handvoll kurzer Formeln, alle aus der Seitenlänge s und dem Winkel 36° (einem Zehntel einer vollen Drehung) gebildet.
Fläche = ¼ × √(5 × (5 + 2√5)) × s²Ein regelmäßiges Fünfeck besteht aus fünf gleichen gleichschenkligen Dreiecken, die vom Mittelpunkt ausgehen. Der Umfang ist einfach 5 × s. Der Inkreisradius — der Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite — ist s / (2 × tan 36°). Der Umkreisradius — der Abstand vom Mittelpunkt hinaus zu einer Ecke — ist s / (2 × sin 36°) und immer ein wenig länger als der Inkreisradius.
Angenommen, du hast ein regelmäßiges Fünfeck mit einer Seite von 6.
Umfang
5 × 6 = 30 — die Strecke einmal herum.
Inkreisradius und Umkreisradius
Inkreisradius = 6 / (2 × tan 36°) = 4,129146, Umkreisradius = 6 / (2 × sin 36°) = 5,103905.
Fläche
¼ × √(5 × (5 + 2√5)) × 6² = 61,937186 Quadrateinheiten — die Fläche innen.
Die Ergebnisse beantworten verschiedene praktische Fragen. Die Fläche (etwa 61,937186 Quadrateinheiten bei s = 6) ist, wie viel Fläche das Fünfeck bedeckt — das zuzuschneidende Paneel, der zu verlegende Filz, der Flicken auf einem Fußball. Der Umfang (hier 30) ist die Einfassung, die ringsherum läuft. Der Inkreisradius (etwa 4,129146) ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Kante, der Radius des größten Kreises, der hineinpasst; das ist der natürliche „innere Radius“, wenn du die Form einbeschreibst. Der Umkreisradius (etwa 5,103905) ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Ecke, der Radius des kleinsten Kreises, der das Fünfeck umschließt — genau das, was du am Zirkel einstellst, um die fünf Ecken abzutragen. Eine nützliche Tatsache: Der Umkreisradius ist immer größer als der Inkreisradius, denn eine Ecke ist weiter vom Mittelpunkt entfernt als die Mitte einer Seite, und teilst du die Fläche durch den Umfang, erhältst du den halben Inkreisradius zurück.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Regelmäßige Fünfecke und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben ein perfektes regelmäßiges Fünfeck — fünf gleiche Seiten und fünf gleiche 108°-Winkel. Ein unregelmäßiges Fünfeck (mit unterschiedlichen Seiten oder Winkeln) passt nicht zu diesen Ergebnissen; zerlege es stattdessen in Dreiecke. Die Seitenlänge ist außerdem einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur dann sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: eine Seite in Zentimetern ergibt eine Fläche in Quadratzentimetern und einen Umkreisradius in Zentimetern, niemals eine Mischung.