Dodekaeder Rechner
Aus einer Kantenlänge erhältst du Volumen und gesamte Oberfläche — die zwei Zahlen, die jedes regelmäßige Dodekaeder beschreiben.
Eine Eingabe, zwei Antworten
Gib die Kantenlänge ein und der Rechner liefert auf einmal das Volumen (((15+7√5)/4)·a³) und die Oberfläche (3√(25+10√5)·a²).
Einheiten gleich halten
Die Kantenlänge ist einheitenunabhängig — deine Ergebnisse kommen in derselben Einheit zurück (quadriert bei der Fläche, kubiert beim Volumen), mische also nicht Zentimeter mit Zoll.
Was ist ein Dodekaeder-Rechner?
Eine Kante rein, ganzer Körper raus
Ein regelmäßiges Dodekaeder ist einer der fünf platonischen Körper: zwölf gleiche regelmäßige Fünfeckflächen, die an zwanzig Ecken zusammentreffen, mit dreißig gleichen Kanten. Weil jede Kante gleich lang ist, legt eine einzige Größe — die Kantenlänge a — den ganzen Körper fest. Dieser Rechner macht aus dieser einen Zahl das Volumen (wie viel er fasst) und die gesamte Oberfläche (alle zwölf Fünfecke). Er ist das Werkzeug für W12-Würfel, Pyritkristalle, geometrische Modelle und jede Geometrieaufgabe, in der ein regelmäßiges Dodekaeder vorkommt.
Gib die Kantenlänge in einer beliebigen Längeneinheit ein, um Volumen und Oberfläche sofort zu erhalten.
Zwei Formeln, beide aus der einzigen Kantenlänge a und der Wurzel aus 5 (≈ 2,23607) gebildet.
Volumen = ((15 + 7√5) / 4) × a³Die Oberfläche ist die Summe von zwölf regelmäßigen Fünfeckflächen und ergibt zusammen 3 × √(25 + 10√5) × a². Das Volumen, der Raum darin, ist ((15 + 7√5) / 4) × a³: Der Faktor (15 + 7√5)/4 ist etwa 7,6631, ein Dodekaeder fasst also rund das Siebeneinhalbfache der Kante hoch drei — weit mehr als ein Würfel mit derselben Kante.
Angenommen, du hast ein regelmäßiges Dodekaeder mit einer Kantenlänge von 3.
Oberfläche
3 × √(25 + 10√5) × 3² = 3 × √(25 + 10√5) × 9 = 185,811559 Quadrateinheiten — alle zwölf Fünfecke.
Volumen
((15 + 7√5) / 4) × 3³ = ((15 + 7√5) / 4) × 27 = 206,904212 Kubikeinheiten — der Platz darin.
Die zwei Ergebnisse beantworten zwei verschiedene Fragen. Das Volumen (etwa 206,904212 Kubikeinheiten bei a = 3) ist, wie viel der Körper fasst — praktisch für einen Kristall, ein Modell oder eine Packungsschätzung. Die wichtigste Erkenntnis: Der Volumenfaktor (15 + 7√5)/4 ≈ 7,6631 ist groß — ein Dodekaeder ist der rundeste der platonischen Körper, schließt also bei gegebener Kante weit mehr Raum ein als ein Würfel (der nur a³ = 1 × Kante hoch drei fasst). Die Oberfläche (etwa 185,811559 Quadrateinheiten) ist die Summe aller zwölf Fünfecke — was du streichen oder beschichten würdest, und sie wächst mit dem Quadrat der Kante, eine Verdopplung der Kante vervierfacht also die Oberfläche, während das Volumen achtmal so groß wird. Weil beide Größen aus derselben einzigen Kante entstehen, ist das Hoch- oder Herunterskalieren nur eine Frage des Neuskalierens von a, und die hohe Symmetrie des Dodekaeders bedeutet, dass es kein besonderes „Oben“ oder „Vorne“ zu beachten gibt.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Regelmäßige Dodekaeder und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben ein perfektes regelmäßiges Dodekaeder — zwölf gleiche regelmäßige Fünfeckflächen mit überall gleicher Kantenlänge. Ein unregelmäßiger Zwölfflächner (dessen Flächen oder Kanten verschieden groß sind) folgt diesen Formeln nicht. Die Kantenlänge ist außerdem einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur dann sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: eine Kante in Zentimetern ergibt ein Volumen in Kubikzentimetern und eine Oberfläche in Quadratzentimetern, niemals eine Mischung.