Tetraeder Rechner
Aus einer Kantenlänge erhältst du Volumen, gesamte Oberfläche und Höhe — die drei Zahlen, die jedes regelmäßige Tetraeder beschreiben.
Eine Eingabe, drei Antworten
Gib die Kantenlänge ein und der Rechner liefert auf einmal das Volumen (a³/(6√2)), die Oberfläche (√3·a²) und die Höhe (a·√(2/3)).
Einheiten gleich halten
Die Kantenlänge ist einheitenunabhängig — deine Ergebnisse kommen in derselben Einheit zurück (quadriert bei der Fläche, kubiert beim Volumen), mische also nicht Zentimeter mit Zoll.
Was ist ein Tetraeder-Rechner?
Eine Kante rein, ganzer Körper raus
Ein regelmäßiges Tetraeder ist der einfachste der fünf platonischen Körper: eine dreieckige Pyramide aus vier gleichen gleichseitigen Dreiecken, bei der jede Kante gleich lang ist. Weil alle Kanten gleich sind, legt eine einzige Größe — die Kantenlänge a — den ganzen Körper fest. Dieser Rechner macht aus dieser einen Zahl das Volumen (wie viel er fasst), die gesamte Oberfläche (alle vier Flächen) und die Höhe (von einer Fläche gerade hinauf zur gegenüberliegenden Ecke). Er ist das Werkzeug für Würfel, Molekülmodelle, Pyramidenpuzzles und jede Geometrieaufgabe, in der ein regelmäßiges Tetraeder vorkommt.
Gib die Kantenlänge in einer beliebigen Längeneinheit ein, um Volumen, Oberfläche und Höhe sofort zu erhalten.
Drei kurze Formeln, alle aus der einzigen Kantenlänge a und ein paar Wurzeln gebildet.
Volumen = a³ / (6√2)Die Oberfläche besteht einfach aus vier gleichseitigen Dreiecksflächen und ergibt zusammen √3 × a². Die Höhe — der senkrechte Abstand von einer Fläche zur gegenüberliegenden Ecke — ist a × √(2/3), etwas weniger als drei Viertel der Kante. Das Volumen, der Raum darin, ist a³ / (6√2): viel weniger als ein Würfel mit derselben Kante, weil ein Tetraeder scharf zu einer Spitze zuläuft.
Angenommen, du hast ein regelmäßiges Tetraeder mit einer Kantenlänge von 6.
Oberfläche
√3 × 6² = √3 × 36 = 62,353829 Quadrateinheiten — alle vier gleichseitigen Flächen.
Höhe
6 × √(2/3) = 4,898979 — von einer Fläche zur gegenüberliegenden Ecke.
Volumen
6³ / (6 × √2) = 25,455844 Kubikeinheiten — der Platz darin.
Die drei Ergebnisse beantworten drei verschiedene Fragen. Das Volumen (etwa 25,455844 Kubikeinheiten bei a = 6) ist, wie viel der Körper fasst — praktisch für ein Modell, einen Kristall oder eine Packungsschätzung. Die wichtigste Erkenntnis: Wie wenig ein Tetraeder für seine Kante fasst — sein Volumen ist rund ein Zwölftel (1/(6√2) ≈ 0,1179) der Kante hoch drei, weit weniger als ein Würfel, weil der Körper zu einer einzigen Spitze zuläuft. Die Oberfläche (etwa 62,353829 Quadrateinheiten) ist die Summe aller vier Flächen — was du streichen oder bedecken würdest, und sie wächst mit dem Quadrat der Kante, eine Verdopplung der Kante vervierfacht also die Oberfläche. Die Höhe (hier 4,898979) ist der senkrechte Abstand von einer Fläche zur gegenüberliegenden Ecke; sie ist stets ein fester Bruchteil √(2/3) ≈ 0,8165 der Kante, was hilft, wenn ein Tetraeder in einen vorgegebenen Raum passen soll. Weil jede Größe aus derselben einzigen Kante entsteht, ist das Hoch- oder Herunterskalieren des Modells nur eine Frage des Neuskalierens von a.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Regelmäßige Tetraeder und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben ein perfektes regelmäßiges Tetraeder — vier gleiche gleichseitige Flächen mit überall gleicher Kantenlänge. Ein unregelmäßiges Tetraeder (Flächen verschiedener Größe, Kanten verschiedener Länge) folgt diesen Formeln nicht und braucht stattdessen die Koordinaten seiner Ecken. Die Kantenlänge ist außerdem einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur dann sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: eine Kante in Zentimetern ergibt ein Volumen in Kubikzentimetern und eine Oberfläche in Quadratzentimetern, niemals eine Mischung.