Oktaeder Rechner
Aus einer Kantenlänge erhältst du Volumen und gesamte Oberfläche — die zwei Zahlen, die jedes regelmäßige Oktaeder beschreiben.
Eine Eingabe, zwei Antworten
Gib die Kantenlänge ein und der Rechner liefert auf einmal das Volumen ((√2/3)·a³) und die Oberfläche (2√3·a²).
Einheiten gleich halten
Die Kantenlänge ist einheitenunabhängig — deine Ergebnisse kommen in derselben Einheit zurück (quadriert bei der Fläche, kubiert beim Volumen), mische also nicht Zentimeter mit Zoll.
Was ist ein Oktaeder-Rechner?
Eine Kante rein, ganzer Körper raus
Ein regelmäßiges Oktaeder ist einer der fünf platonischen Körper: acht gleiche gleichseitige Dreiecksflächen, wie zwei quadratische Pyramiden, die mit der Grundfläche aneinandergeklebt sind. Alle zwölf Kanten sind gleich lang, daher legt eine einzige Größe — die Kantenlänge a — den ganzen Körper fest. Dieser Rechner macht aus dieser einen Zahl das Volumen (wie viel er fasst) und die gesamte Oberfläche (alle acht Flächen). Er ist das Werkzeug für W8-Würfel, Fluorit- und Diamantkristalle, Molekülmodelle und jede Geometrieaufgabe, in der ein regelmäßiges Oktaeder vorkommt.
Gib die Kantenlänge in einer beliebigen Längeneinheit ein, um Volumen und Oberfläche sofort zu erhalten.
Zwei kurze Formeln, beide aus der einzigen Kantenlänge a und einer Wurzel gebildet.
Volumen = (√2 / 3) × a³Die Oberfläche ist die Summe von acht gleichseitigen Dreiecksflächen und ergibt zusammen 2 × √3 × a². Das Volumen, der Raum darin, ist (√2 / 3) × a³: Weil ein Oktaeder aus zwei an der Grundfläche verbundenen quadratischen Pyramiden besteht, fasst es etwa viermal so viel wie ein regelmäßiges Tetraeder mit derselben Kante.
Angenommen, du hast ein regelmäßiges Oktaeder mit einer Kantenlänge von 6.
Oberfläche
2 × √3 × 6² = 2 × √3 × 36 = 124,707658 Quadrateinheiten — alle acht Flächen.
Volumen
(√2 / 3) × 6³ = (√2 / 3) × 216 = 101,823376 Kubikeinheiten — der Platz darin.
Die zwei Ergebnisse beantworten zwei verschiedene Fragen. Das Volumen (etwa 101,823376 Kubikeinheiten bei a = 6) ist, wie viel der Körper fasst — praktisch für einen Kristall, ein Modell oder eine Packungsschätzung. Die wichtigste Erkenntnis: Ein Oktaeder besteht aus zwei an der Grundfläche verbundenen quadratischen Pyramiden — sein Volumen ist (√2/3)·a³ ≈ 0,4714 × a³, rund viermal ein regelmäßiges Tetraeder mit derselben Kante, aber immer noch weniger als die Hälfte eines Würfels mit derselben Kante. Die Oberfläche (etwa 124,707658 Quadrateinheiten) ist die Summe aller acht Flächen — was du streichen oder beschichten würdest, und sie wächst mit dem Quadrat der Kante, eine Verdopplung der Kante vervierfacht also die Oberfläche, während das Volumen achtmal so groß wird. Weil beide Größen aus derselben einzigen Kante entstehen, ist das Hoch- oder Herunterskalieren nur eine Frage des Neuskalierens von a, und die Symmetrie des Oktaeders bedeutet, dass es kein „Oben“ oder „Vorne“ zu beachten gibt.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Regelmäßige Oktaeder und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben ein perfektes regelmäßiges Oktaeder — acht gleiche gleichseitige Flächen mit überall gleicher Kantenlänge. Ein unregelmäßiges Oktaeder (acht Flächen verschiedener Größe, etwa eine gestreckte Bipyramide) folgt diesen Formeln nicht. Die Kantenlänge ist außerdem einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur dann sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: eine Kante in Zentimetern ergibt ein Volumen in Kubikzentimetern und eine Oberfläche in Quadratzentimetern, niemals eine Mischung.