Ikosaeder Rechner
Aus einer Kantenlänge erhältst du Volumen und gesamte Oberfläche — die zwei Zahlen, die jedes regelmäßige Ikosaeder beschreiben.
Eine Eingabe, zwei Antworten
Gib die Kantenlänge ein und der Rechner liefert auf einmal das Volumen ((5(3+√5)/12)·a³) und die Oberfläche (5√3·a²).
Einheiten gleich halten
Die Kantenlänge ist einheitenunabhängig — deine Ergebnisse kommen in derselben Einheit zurück (quadriert bei der Fläche, kubiert beim Volumen), mische also nicht Zentimeter mit Zoll.
Was ist ein Ikosaeder-Rechner?
Eine Kante rein, ganzer Körper raus
Ein regelmäßiges Ikosaeder ist einer der fünf platonischen Körper: zwanzig gleiche gleichseitige Dreiecksflächen, die an zwölf Ecken zusammentreffen, mit dreißig gleichen Kanten. Weil jede Kante gleich lang ist, legt eine einzige Größe — die Kantenlänge a — den ganzen Körper fest. Dieser Rechner macht aus dieser einen Zahl das Volumen (wie viel er fasst) und die gesamte Oberfläche (alle zwanzig Dreiecke). Er ist das Werkzeug für W20-Würfel, geodätische Modelle, Viruskapside in Biologie-Diagrammen und jede Geometrieaufgabe, in der ein regelmäßiges Ikosaeder vorkommt.
Gib die Kantenlänge in einer beliebigen Längeneinheit ein, um Volumen und Oberfläche sofort zu erhalten.
Zwei Formeln, beide aus der einzigen Kantenlänge a gebildet — die eine nutzt die Wurzel aus 5 (≈ 2,23607), die andere die Wurzel aus 3 (≈ 1,73205).
Volumen = (5(3 + √5) / 12) × a³Die Oberfläche ist die Summe von zwanzig gleichseitigen Dreiecken und ergibt zusammen 5 × √3 × a². Das Volumen, der Raum darin, ist (5(3 + √5) / 12) × a³: Der Faktor 5(3 + √5)/12 ist etwa 2,18169, ein Ikosaeder fasst also rund das Zweieinfünftelfache der Kante hoch drei — mehr als ein Würfel mit derselben Kante, aber weniger als ein Dodekaeder.
Angenommen, du hast ein regelmäßiges Ikosaeder mit einer Kantenlänge von 3.
Oberfläche
5 × √3 × 3² = 5 × √3 × 9 = 77,942286 Quadrateinheiten — alle zwanzig gleichseitigen Dreiecke.
Volumen
(5(3 + √5) / 12) × 3³ = (5(3 + √5) / 12) × 27 = 58,905765 Kubikeinheiten — der Platz darin.
Die zwei Ergebnisse beantworten zwei verschiedene Fragen. Das Volumen (etwa 58,905765 Kubikeinheiten bei a = 3) ist, wie viel der Körper fasst — praktisch für ein Modell, eine Würfelform oder eine Packungsschätzung. Die wichtigste Erkenntnis: Der Volumenfaktor 5(3 + √5)/12 ≈ 2,18169 liegt zwischen einem Würfel (Faktor 1) und einem Dodekaeder (Faktor etwa 7,6631) — das Ikosaeder hat von allen platonischen Körpern die meisten Flächen, aber ein kleineres Volumen pro Kante als das Dodekaeder, weil seine Dreiecksflächen enger umschließen. Die Oberfläche (etwa 77,942286 Quadrateinheiten) ist die Summe aller zwanzig Dreiecke — was du streichen oder beschichten würdest, und sie wächst mit dem Quadrat der Kante, eine Verdopplung der Kante vervierfacht also die Oberfläche, während das Volumen achtmal so groß wird. Weil beide Größen aus derselben einzigen Kante entstehen, ist das Hoch- oder Herunterskalieren nur eine Frage des Neuskalierens von a, und die hohe Symmetrie des Ikosaeders bedeutet, dass es kein besonderes „Oben“ oder „Vorne“ zu beachten gibt.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Regelmäßige Ikosaeder und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben ein perfektes regelmäßiges Ikosaeder — zwanzig gleiche gleichseitige Dreiecksflächen mit überall gleicher Kantenlänge. Ein unregelmäßiger Zwanzigflächner (dessen Flächen oder Kanten verschieden groß sind) folgt diesen Formeln nicht. Die Kantenlänge ist außerdem einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur dann sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: eine Kante in Zentimetern ergibt ein Volumen in Kubikzentimetern und eine Oberfläche in Quadratzentimetern, niemals eine Mischung.