Polarkoordinaten-Umrechner beide Richtungen
Rechne einen Punkt zwischen Polar- und kartesischen Koordinaten um — in Grad oder im Bogenmaß, ohne unterwegs den Quadranten zu verlieren.
In beide Richtungen
Polar nach kartesisch und zurück, in der Winkeleinheit deiner Wahl.
arctan(y/x) reicht nicht
Er verliert zwei Quadranten und ist bei x = 0 undefiniert. Hier rechnet atan2.
Was sind Polar- und kartesische Koordinaten?
Auf einen Blick
Kartesische Koordinaten bestimmen einen Punkt über wie weit rechts und wie weit oben: (x, y). Polarkoordinaten beschreiben denselben Punkt über wie weit entfernt und in welche Richtung: einen Radius r und einen Winkel θ, gemessen gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven x-Achse.
Von polar nach kartesisch ist es schlichte Trigonometrie — der Radius ist die Hypotenuse, die beiden Koordinaten sind ihre Projektionen:
x = r × cos θ, y = r × sin θDie Gegenrichtung ist die, an der Umsetzungen scheitern. Der Radius ist einfach — Pythagoras — aber der Winkel braucht mehr Sorgfalt, als arctan(y ÷ x) bietet:
r = √(x² + y²), θ = atan2(y, x)Ein einfacher Arkustangens liefert Winkel zwischen −90° und 90° und kann (3, 4) deshalb nicht von (−3, −4) unterscheiden — beide ergeben dasselbe Verhältnis. atan2 wertet die Vorzeichen von x und y getrennt aus, liefert den richtigen Quadranten und ist auch bei x = 0 definiert, wo eine Division scheitern würde. Dieser Rechner normiert das Ergebnis zusätzlich auf 0-360°, damit ein Punkt unterhalb der Achse als 270° und nicht als −90° zurückkommt.
Die Voreinstellung rechnet r = 5 bei 53,13° zurück in (3, 4). Interessant sind die Fälle, die eine naive Formel falsch macht.
Erster Quadrant: (3, 4)
r = √(9 + 16) = 5, θ = 53,13°. Hier sind sich alle einig.
Zweiter Quadrant: (−3, 4)
Derselbe Radius 5, aber θ = 126,87°. Ein einfacher Arkustangens von 4 ÷ −3 meldete −53,13° und setzte den Punkt in die falsche Halbebene.
Auf der Achse: (0, −5)
r = 5, θ = 270°. y durch x zu teilen wäre hier eine Division durch null; atan2 kommt direkt damit zurecht.
Rundung an den Polen
r = 10 bei exakt 90° ergibt y = 10 und x ≈ 1,9 × 10⁻¹⁶ statt einer sauberen Null — Gleitkommarauschen, kein Fehler. Lies es als null.
Die Umrechnung selbst ist exakt; zu beachten sind Konventionen, nicht Genauigkeit.
Die Winkelkonvention hier ist die mathematische — gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven x-Achse, Ausgabe in 0-360°. Navigation und Vermessung nutzen stattdessen Peilungen im Uhrzeigersinn ab Nord, also eine andere Zahl für dieselbe Richtung. Rechne bewusst um, wenn du zwischen beiden wechselst.
Grad und Bogenmaß sind beide exakt, aber sie unbemerkt zu mischen ist die häufigste Fehlerquelle. Die Einheitenauswahl gilt für den eingegebenen wie für den ausgegebenen Winkel.
Im Ursprung ist der Winkel undefiniert. r = 0 beschreibt den Ursprung unabhängig von θ, ein Winkel trägt dort keine Information.
Sehr kleine Komponenten sind Gleitkommarauschen. Werte um 10⁻¹⁶ an Stellen, wo du null erwartest, sind die Grenze der Binärarithmetik, kein Fehler der Umrechnung.
Für den Abstand zweier Punkte nimm den 2D-Abstandsrechner, für Winkeleinheiten allein den Winkel-Umrechner.