Betrag einer komplexen Zahl Rechner
Gib den Real- und Imaginärteil von z = a + bi ein, um den Betrag |z| und das Argument in Grad zu erhalten — und sieh genau, wo die Zahl in der komplexen Ebene liegt.
Betrag und Argument auf einmal
Gib den Realteil a und den Imaginärteil b ein und der Rechner liefert den Betrag |z| = √(a² + b²) und das Argument atan2(b, a) in Grad zusammen.
Negative Werte erlaubt
Beide Teile dürfen negativ sein — das Vier-Quadranten-Argument behält das richtige Vorzeichen, sodass ein Punkt unterhalb der reellen Achse einen negativen Winkel ergibt.
Was ist der Betrag einer komplexen Zahl?
Größe und Richtung von z = a + bi
Der Betrag-einer-komplexen-Zahl-Rechner macht aus den zwei Teilen einer komplexen Zahl z = a + bi ihren Betrag und ihr Argument. Der Betrag |z| ist der Abstand des Punktes a + bi vom Ursprung in der komplexen Ebene — seine Größe, immer null oder positiv. Das Argument ist der Winkel, den die Linie vom Ursprung zum Punkt mit der positiven reellen Achse bildet, die Richtung der Zahl. Zusammen beschreiben Betrag und Argument eine komplexe Zahl in Polarform, der natürlichen Art, komplexe Zahlen zu multiplizieren, zu dividieren und zu potenzieren, und die Brücke zu Zeigern in der Elektrotechnik und Signalverarbeitung.
Gib einen Realteil und einen Imaginärteil ein, um sofort den Betrag |z| und das Argument in Grad zu erhalten.
Der Betrag ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der beiden Teile, und das Argument ist der Vier-Quadranten-Arkustangens des Imaginärteils über dem Realteil.
|z| = √(a² + b²)φ = atan2(b, a)Der Betrag folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras, angewandt auf die reelle und die imaginäre Koordinate. Das Argument verwendet atan2, den zweiwertigen Arkustangens, der die Vorzeichen beider Teile betrachtet und so den korrekten Winkel in allen vier Quadranten liefert — etwas, das der einfache Arkustangens nicht kann.
Angenommen, z = 3 + 4i, also ist der Realteil a gleich 3 und der Imaginärteil b gleich 4.
Jeden Teil quadrieren
3² = 9 und 4² = 16 — die quadrierte reelle und imaginäre Koordinate.
Addieren und die Wurzel ziehen
√(9 + 16) = √25 = 5 — der Betrag |z|, der Abstand vom Ursprung.
Das Argument bestimmen
atan2(4, 3) ≈ 53,1301° — der Winkel über der positiven reellen Achse. Also hat z = 3 + 4i den Betrag 5 und das Argument 53,13°.
Die zwei Ergebnisse beantworten zwei verschiedene Fragen. Der Betrag (5 für 3 + 4i) ist der Betrag der Zahl — wie weit der Punkt vom Ursprung entfernt liegt und, in Anwendungen, die Amplitude eines Zeigers oder die Verstärkung eines Systems. Das Argument (53,13°) ist die Richtung — der Winkel des Punktes, die Phase eines Signals. Die vier Punkte 3 + 4i, −3 + 4i, −3 − 4i und 3 − 4i teilen sich alle den Betrag 5, haben aber Argumente von etwa 53,13°, 126,87°, −126,87° und −53,13°, jeweils einer in einem Quadranten: der Betrag misst die Größe, während das Argument festhält, wohin die Zahl zeigt. Zusammen gelesen legen sie eine komplexe Zahl vollständig fest, und die Umrechnung in diese Polarsicht macht das Multiplizieren komplexer Zahlen (Beträge multiplizieren sich, Argumente addieren sich) so viel einfacher als das Rechnen mit a + bi direkt.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar Konventionen solltest du im Blick behalten.
Argument in Grad, nur der Hauptwert
Dieser Rechner gibt das Argument in Grad an, gemessen von der positiven reellen Achse, als Hauptwert zwischen −180° und 180°. Andere Konventionen nutzen Bogenmaß oder den Bereich 0° bis 360°; addiere 360° zu einem negativen Ergebnis, wenn du die Form 0°–360° brauchst. Das Argument ist im Ursprung undefiniert, deshalb sind für z = 0 + 0i der Betrag 0 und das Argument per Konvention 0°.