Linsengleichung Rechner
Gib eine Brennweite und eine Gegenstandsweite ein, um Bildweite und Abbildungsmaßstab zu erhalten — und sieh, ob das Bild reell oder virtuell, vergrößert oder verkleinert, aufrecht oder umgekehrt ist.
Bildweite und Abbildungsmaßstab auf einmal
Gib Brennweite und Gegenstandsweite ein und der Rechner liefert die Bildweite dᵢ und den Abbildungsmaßstab m zusammen.
Auf die Vorzeichen achten
Eine Sammellinse (konvex) hat eine positive Brennweite, eine Zerstreuungslinse (konkav) eine negative. Halte alle Längen in derselben Einheit.
Was ist die Linsengleichung?
Wo ein Bild entsteht und wie groß es ist
Die Linsengleichung verknüpft drei Größen einer idealen Linse: die Brennweite f, die Gegenstandsweite dₒ und die Bildweite dᵢ. Sie erfüllen 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ, was sich zu dᵢ = (f × dₒ) / (dₒ − f) umstellen lässt. Sobald du weißt, wo das Bild entsteht, verrät dir der Abbildungsmaßstab m = −dᵢ/dₒ seine Größe im Verhältnis zum Gegenstand und ob es aufrecht oder umgekehrt steht. Dieser Rechner macht aus zwei Größen — der Brennweite und der Gegenstandsweite — die Bildweite und den Abbildungsmaßstab, also genau die Zahlen, auf die sich eine Kamera, ein Projektor oder eine Lupe still verlassen.
Gib eine Brennweite und eine Gegenstandsweite ein, um sofort die Bildweite in derselben Einheit und den Abbildungsmaßstab zu erhalten.
Die Bildweite ergibt sich aus dem Umstellen der Linsengleichung, und der Abbildungsmaßstab ist minus das Verhältnis von Bildweite zu Gegenstandsweite.
dᵢ = (f × dₒ) / (dₒ − f)Der Nenner (dₒ − f) trägt die Physik: Nähert sich der Gegenstand dem Brennpunkt, schrumpft der Nenner, die Bildweite wächst, und bei dₒ = f wandert das Bild ins Unendliche. Der Abbildungsmaßstab m = −dᵢ/dₒ folgt dann unmittelbar. Halte Brennweite und Gegenstandsweite in derselben Einheit, dann kommt die Bildweite in dieser Einheit zurück und der Abbildungsmaßstab als reine Zahl.
Angenommen, eine Sammellinse hat eine Brennweite von 10 cm und ein Gegenstand steht 30 cm vor ihr.
Nenner durch Subtraktion bilden
30 − 10 = 20 — der Term (dₒ − f), der die Bildweite festlegt.
Multiplizieren und dividieren
(10 × 30) / 20 = 300 / 20 = 15 cm — die Bildweite dᵢ. Ein positiver Wert bedeutet ein reelles Bild auf der gegenüberliegenden Seite der Linse.
Abbildungsmaßstab ermitteln
m = −dᵢ/dₒ = −15/30 = −0,5 — das Bild ist halb so groß wie der Gegenstand und umgekehrt.
Die zwei Ergebnisse beantworten zwei Fragen: wo das Bild ist und wie es aussieht. Die Bildweite dᵢ verrät den Ort. Ein positiver Wert (15 cm im Beispiel) bedeutet ein reelles Bild auf der gegenüberliegenden Seite der Linse — die Art, die du auf einem Schirm auffangen kannst, wie es ein Projektor oder ein Kamerasensor tut. Ein negativer Wert bedeutet ein virtuelles Bild auf derselben Seite wie der Gegenstand; du kannst es nicht projizieren, aber durch die Linse hindurch sehen, genau wie bei einer Lupe, die du nah an eine Seite hältst. Der Abbildungsmaßstab m liefert den Rest. Seine Größe, |m|, sagt, ob das Bild vergrößert (|m| > 1) oder verkleinert (|m| < 1) ist, und sein Vorzeichen, ob es aufrecht (positiv) oder umgekehrt (negativ) steht. So bedeutet m = −0,5 ein halb so großes, auf dem Kopf stehendes Bild, während m = 2 ein doppelt so großes, aufrechtes wäre. Liest du beide Zahlen zusammen — Vorzeichen von dᵢ für reell oder virtuell, Vorzeichen und Größe von m für Ausrichtung und Maßstab —, beschreibst du das Bild, das die Linse erzeugt, vollständig.
Die Gleichung ist für eine idealisierte Linse exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Dünne-Linsen-Idealisierung und Vorzeichenkonvention
Dieser Rechner setzt eine dünne Linse voraus — eine, deren Dicke gegenüber ihrer Brennweite vernachlässigbar ist — und ignoriert Abbildungsfehler, Linsendicke und die Wellennatur des Lichts. Er nutzt die Konvention, bei der eine Sammellinse eine positive und eine Zerstreuungslinse eine negative Brennweite hat, wobei die Gegenstandsweite vor der Linse positiv ist. Gib die Brennweite mit dem richtigen Vorzeichen ein, halte alle Längen in derselben Einheit, und denk daran, dass dₒ = f kein endliches Ergebnis liefert, weil das Bild im Unendlichen entsteht.