Kreissektor Rechner
Aus einem Radius und einem Mittelpunktswinkel erhältst du Fläche, Bogenlänge und Sehne — die drei Zahlen, die jedes Tortenstück eines Kreises beschreiben.
Ein Stück des ganzen Kreises
Ein Sektor ist der Anteil θ/360 des Kreises. Gib Radius und Winkel ein und der Rechner liefert auf einmal Fläche, Bogenlänge und Sehne.
Winkel in Grad, Länge einheitlich
Der Mittelpunktswinkel geht in Grad von 0 bis 360, und der Radius ist einheitenunabhängig — deine Ergebnisse kommen in derselben Längeneinheit zurück (quadriert bei der Fläche).
Was ist ein Kreissektor?
Zwei Radien und ein Bogen
Ein Kreissektor ist ein „Tortenstück“ eines Kreises — die Fläche, die von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Bogen begrenzt wird. Er ist durch zwei Zahlen bestimmt: den Radius r, den Abstand vom Mittelpunkt zum Rand, und den Mittelpunktswinkel θ, den Winkel im Zentrum zwischen den beiden Radien. Weil ein ganzer Kreis 360° umfasst, ist der Sektor einfach der Anteil θ/360 des gesamten Kreises. Damit ist es die Form hinter Pizzastücken, Tortendiagrammen, fächerförmigen Gartenbeeten, Scheibenwischern, Winkelmessern und jeder Geometrieaufgabe, in der ein Teil eines Kreises vorkommt.
Gib Radius und Mittelpunktswinkel ein, um Fläche, Bogenlänge und Sehne sofort zu erhalten.
Zwei Formeln folgen direkt aus dem Anteil des Kreises, den der Sektor abdeckt, plus eine dritte für die Sehne über seiner Öffnung.
Fläche = (θ / 360) × π × r²Der Anteil θ/360 macht aus einem Sektor ein Stück statt des ganzen Kreises. Multipliziere diesen Anteil mit der Gesamtfläche des Kreises (π × r²), um die Fläche des Sektors zu erhalten, und mit dem Gesamtumfang (2 × π × r), um die Bogenlänge zu erhalten — den gebogenen äußeren Rand. Die Sehne, die gerade Linie quer über die Öffnung, ist 2 × r × sin(θ/2). Der Bogen ist immer etwas länger als die Sehne, weil er nach außen gewölbt ist.
Angenommen, du hast einen Sektor mit einem Radius von 5 und einem Mittelpunktswinkel von 90° — einen Viertelkreis.
Anteil des Kreises
90 ÷ 360 = 0,25 — der Sektor deckt ein Viertel des ganzen Kreises ab.
Bogenlänge
0,25 × 2 × π × 5 = 7,853982 — der gebogene Rand, ein Viertel des Umfangs.
Fläche
0,25 × π × 5² = 0,25 × π × 25 = 19,634954 Quadrateinheiten — der Platz im Stück.
Die drei Ergebnisse beantworten drei verschiedene Alltagsfragen über das Stück. Die Fläche (etwa 19,634954 Quadrateinheiten bei einem 90°-Sektor mit Radius 5) ist der Platz, den du bedeckst — der Käse auf einem Pizzastück, die Erde in einem fächerförmigen Blumenbeet, das Segment in einem Tortendiagramm. Die Bogenlänge (etwa 7,853982) ist der gebogene äußere Rand — die Kruste an der runden Seite des Stücks oder die Strecke, die ein Wischerblatt überstreicht. Die Sehne (etwa 7,071068) ist die gerade Linie quer über die Öffnung, die die beiden spitzen Enden des Bogens verbindet. Die wichtigste Erkenntnis: Der Sektor ist der Anteil θ/360 des ganzen Kreises — ein Winkel von 90° ist ein Viertel, 180° eine Hälfte und 360° der ganze Kreis, also verdoppeln sich Fläche und Bogenlänge, wenn du den Winkel verdoppelst. Die Sehne dagegen wächst bei kleinen Winkeln schnell und flacht dann ab, erreicht ihr Maximum bei 180° (wo sie zum Durchmesser wird) und schrumpft danach wieder. Halte den Radius durchgängig in einer Längeneinheit und den Winkel in Grad, dann bleibt jedes Ergebnis sinnvoll.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Grad, Bereich und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben einen perfekten, flachen Sektor, dessen Winkel in Grad von 0 bis 360 gemessen wird. Ein Winkel von 360° ist der ganze Kreis, darüber hinaus wiederholt sich die Form, deshalb begrenzt der Rechner die Eingabe dort. Der Radius ist einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur dann sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: ein Radius in Zentimetern ergibt eine Bogenlänge in Zentimetern und eine Fläche in Quadratzentimetern, niemals eine Mischung.