Kreisringsektor Rechner
Aus einem inneren Radius, einem äußeren Radius und einem Mittelpunktswinkel erhältst du die Fläche des Stücks und die Längen seiner beiden Bögen.
Drei Eingaben, drei Antworten
Gib den inneren Radius r₁, den äußeren Radius r₂ und den Mittelpunktswinkel ein und der Rechner liefert auf einmal die Fläche, die äußere Bogenlänge und die innere Bogenlänge.
Äußerer Radius über innerem
Ein Ring braucht einen äußeren Radius, der größer als der innere ist, und der Winkel bleibt zwischen 0° und 360° — ein voller Ring sind genau 360°.
Was ist ein Kreisringsektor-Rechner?
Zwei Radien und ein Winkel rein, ganzes Stück raus
Ein Kreisringsektor-Rechner macht aus drei Größen — dem inneren Radius r₁, dem äußeren Radius r₂ und dem Mittelpunktswinkel — die Zahlen, die ein Stück eines Rings beschreiben: die Fläche des Stücks, die Länge seines äußeren Bogens und die Länge seines inneren Bogens. Ein Kreisringsektor ist das, was du erhältst, wenn du einen Keil aus einer Unterlegscheibe oder einer CD schneidest: ein gekrümmtes Band, begrenzt von zwei Radien und zwei Bögen. Damit ist der Rechner praktisch für Unterlegscheiben, gekrümmte Rampen, Lüfterflügel, Ringe in Tortendiagrammen, Bogenfenster und jede Geometrieaufgabe mit einem Ringstück.
Gib den inneren Radius, den äußeren Radius und den Mittelpunktswinkel ein, um die Fläche und beide Bogenlängen sofort zu erhalten.
Drei kurze Formeln, alle aus den beiden Radien und dem Winkel gebildet. Der Winkel wird zuerst von Grad ins Bogenmaß umgerechnet mit θ = Winkel × π/180.
Fläche = (θ/2) × (r₂² − r₁²)Die Fläche ist der halbe Winkel (im Bogenmaß) mal die Differenz der quadrierten Radien: (θ/2) × (r₂² − r₁²). Die äußere Bogenlänge ist der äußere Radius mal der Winkel im Bogenmaß, r₂ × θ, und die innere Bogenlänge ist r₁ × θ. Weil der Winkel im Bogenmaß stehen muss, werden die eingegebenen Grad zuerst umgerechnet — 90° werden zu π/2 ≈ 1,5708.
Angenommen, du hast ein Ringstück mit einem inneren Radius von 3, einem äußeren Radius von 5 und einem Winkel von 90°.
Äußere Bogenlänge
θ = 90 × π/180 = π/2, also r₂ × θ = 5 × π/2 = 7,853982 — die lange gekrümmte Kante.
Innere Bogenlänge
r₁ × θ = 3 × π/2 = 4,712389 — die kurze gekrümmte Kante.
Fläche
(θ/2) × (5² − 3²) = (π/4) × 16 = 12,566371 Quadrateinheiten — die Fläche des Stücks.
Die drei Ergebnisse beantworten drei verschiedene Alltagsfragen. Die Fläche (etwa 12,566371 Quadrateinheiten bei r₁ = 3, r₂ = 5, 90°) ist die Größe des Bandes selbst — das Metall in einem Scheibenkeil, die Oberfläche einer gekrümmten Rampe, das Stück eines ringförmigen Diagramms. Beachte: Die Fläche hängt von der Differenz der quadrierten Radien ab, nicht von den Radien direkt, ein Stück nahe dem äußeren Rand deckt also bei gleichem Winkel weit mehr Fläche ab als nahe der Mitte. Die äußere Bogenlänge (hier 7,853982) ist die lange gekrümmte Kante, die du außen zuschneiden oder nachzeichnen würdest; die innere Bogenlänge (4,712389) ist die kürzere gekrümmte Kante innen. Beide Bögen wachsen direkt proportional zum Winkel, und der äußere Bogen ist immer länger, weil er beim größeren Radius liegt. Die wichtigste Erkenntnis: Der Winkel treibt alles linear über θ — verdopple den Winkel und beide Bögen sowie die Fläche verdoppeln sich auch — während die Radien den Maßstab setzen. Halte den äußeren Radius über dem inneren und den Winkel innerhalb von 0–360° und das Stück ist wohldefiniert.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Gültige Ringe, Winkelbereich und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben einen flachen Kreisringsektor — ein Stück eines echten Rings — der äußere Radius muss also streng größer als der innere sein, sonst gibt es kein Band und der Rechner liefert nichts. Der Mittelpunktswinkel muss zwischen 0° und 360° liegen; ein Wert über 360° würde über einen vollen Ring hinausgehen und wird abgelehnt. Die Radien sind einheitenunabhängig, halte also durchgängig eine Einheit: Radien in Zentimetern ergeben eine Fläche in Quadratzentimetern und Bogenlängen in Zentimetern. Der Winkel hingegen steht immer in Grad — er ist keine Länge und teilt daher nie die Einheit der Radien.