Kreissegment Rechner
Aus einem Radius und einem Mittelpunktswinkel erhältst du Fläche, Bogenlänge, Sehne und Pfeilhöhe — die vier Zahlen, die das von einer Sehne abgeschnittene Stück beschreiben.
Zwei Eingaben, vier Antworten
Gib den Radius und den Mittelpunktswinkel in Grad ein und der Rechner liefert auf einmal die Fläche (½r²(θ − sin θ)), die Bogenlänge (rθ), die Sehne (2r·sin(θ/2)) und die Pfeilhöhe (r(1 − cos(θ/2))).
Winkel in Grad, Längen teilen eine Einheit
Gib den Winkel in Grad ein (0–360); Radius sowie Bogen, Sehne und Pfeilhöhe teilen eine Längeneinheit, und die Fläche kommt in Quadrateinheiten davon zurück.
Was ist ein Kreissegment-Rechner?
Radius und Winkel rein, ganzes Segment raus
Ein Kreissegment ist der Bereich eines Kreises, der von einer geraden Linie (einer Sehne) abgeschnitten wird — die Scheibe zwischen dieser Sehne und dem Bogen darüber, wie der runde obere Rand einer über dem Horizont aufgehenden Sonne oder der Querschnitt von Flüssigkeit in einem waagerechten Rohr. Dieser Rechner macht aus zwei Größen — dem Radius r des Kreises und dem Mittelpunktswinkel θ, den das Segment aufspannt — die vier Zahlen, die es beschreiben: die Fläche (die Scheibe selbst), die Bogenlänge (die gekrümmte Kante), die Sehnenlänge (die gerade Kante) und die Pfeilhöhe (die Höhe von der Mitte der Sehne hinauf zum Bogen). Jede davon steht fest, sobald du r und θ kennst — diese beiden Eingaben reichen für Rohrfüllungs-Aufgaben, Bogen- und Fensterentwürfe, Tank-Messstäbe und Geometrieaufgaben.
Gib den Radius und den Mittelpunktswinkel in Grad ein, um Fläche, Bogenlänge, Sehne und Pfeilhöhe des Segments sofort zu erhalten.
Vier kurze Formeln, alle aus dem Radius und dem Mittelpunktswinkel θ gebildet. Der Winkel wird zuerst ins Bogenmaß umgerechnet (θ im Bogenmaß = Grad × π / 180).
Fläche = ½ × r² × (θ − sin θ)Die Fläche zieht das Dreieck (½ r² sin θ) vom Kreissektor (½ r² θ) ab und lässt nur das Segment übrig. Die Bogenlänge ist r × θ, die Sehne ist 2 × r × sin(θ/2), und die Pfeilhöhe — die Wölbungshöhe — ist r × (1 − cos(θ/2)). Jede Formel nutzt θ im Bogenmaß, weshalb die eingegebenen Grad zuerst umgerechnet werden.
Angenommen, du hast ein Segment mit einem Radius von 5 und einem Mittelpunktswinkel von 90°.
Winkel umrechnen
θ = 90° × π / 180 = π/2 ≈ 1,570796 im Bogenmaß.
Bogen, Sehne und Pfeilhöhe
Bogen = 5 × 1,570796 ≈ 7,853982; Sehne = 2 × 5 × sin(45°) ≈ 7,071068; Pfeilhöhe = 5 × (1 − cos(45°)) ≈ 1,464466.
Fläche
½ × 5² × (1,570796 − 1) ≈ 7,134955 Quadrateinheiten — die Scheibe selbst.
Die vier Ergebnisse beantworten je eine andere praktische Frage. Die Fläche (etwa 7,134955 Quadrateinheiten bei r = 5, θ = 90°) ist die Größe der Scheibe — der benetzte Querschnitt eines teilgefüllten Rohrs, das Glas in einem Bogenfenster, das Material in einem gekrümmten Zuschnitt. Die Bogenlänge (etwa 7,853982) ist die gekrümmte Kante, die du entlang des Rands misst, praktisch für Zierleisten, Dichtungen oder die Länge eines Bands, das du um die Kurve legst. Die Sehne (etwa 7,071068) ist die gerade Kante am unteren Rand der Scheibe — die flache Spannweite eines Bogens oder die Breite der Flüssigkeitsoberfläche im Rohr. Die Pfeilhöhe (etwa 1,464466), auch Segmenthöhe oder „Stich“ genannt, ist, wie weit sich der Bogen über die Mitte der Sehne wölbt; sie ist die nützlichste Zahl beim Vermessen einer Kurve vor Ort, denn aus Sehne und Pfeilhöhe allein kannst du den Radius eines Kreises bestimmen, ohne je den Mittelpunkt zu erreichen. Beachte, dass die Pfeilhöhe hier klein gegenüber dem Radius ist: Ein 90°-Segment wölbt sich weniger als ein Drittel des Radius. Wächst der Winkel auf 180°, wird das Segment zu einem vollen Halbkreis, die Sehne zum Durchmesser und die Pfeilhöhe gleich dem Radius.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Grad, das kleinere Segment und einheitliche Längeneinheiten
Der Winkel ist hier der Mittelpunktswinkel in Grad, zwischen 0 und 360 — nicht die Bogenlänge und nicht das Bogenmaß (der Rechner rechnet intern ins Bogenmaß um). Das Ergebnis ist das kleinere Segment für Winkel unter 180° und das größere Segment für Winkel über 180°; bei genau 360° hättest du den ganzen Kreis. Das sind die Standardformeln für einen echten Kreisbogen, eine Ellipse, eine Parabel oder eine von Hand gezeichnete Kurve weicht also ab. Der Radius und die Längenausgaben teilen sich außerdem eine Einheit, halte den Radius also in einer einzigen Längeneinheit: ein Radius in Zentimetern ergibt Bogen, Sehne und Pfeilhöhe in Zentimetern und eine Fläche in Quadratzentimetern, niemals eine Mischung.