Kegelstumpf-Oberfläche Rechner
Aus zwei Radien und einer Höhe erhältst du die Mantellinie, die gekrümmte Mantelfläche und die Gesamtoberfläche eines abgeschnittenen Kegels.
Drei Eingaben, drei Antworten
Gib den unteren Radius, den oberen Radius und die Höhe ein und der Rechner liefert auf einmal die Mantellinie (√((R−r)²+h²)), die Mantelfläche (π(R+r)l) und die Gesamtoberfläche (Mantelfläche + πR² + πr²).
Einheiten gleich halten
Die beiden Radien und die Höhe sind einheitenunabhängig — deine Flächen kommen in Quadrateinheiten der verwendeten Längeneinheit zurück, mische also nicht Zentimeter mit Zoll.
Was ist ein Kegelstumpf-Oberfläche-Rechner?
Zwei Radien und eine Höhe rein, ganze Oberfläche raus
Ein Kegelstumpf entsteht, wenn du die Spitze eines Kegels mit einem Schnitt parallel zur Grundfläche abtrennst — eine Eimerform, ein Lampenschirm, ein Blumentopf, ein Pappbecher. Er hat zwei Kreisflächen: eine größere unten (Radius R) und eine kleinere oben (Radius r), getrennt durch eine senkrechte Höhe h. Dieser Rechner macht aus diesen drei Größen die Flächen, die du wirklich brauchst: die Mantellinie (die schräge Seite), die Mantelfläche (nur die gekrümmte Wand) und die Gesamtoberfläche (die gekrümmte Wand plus beide Kreisflächen). Jede davon steht fest, sobald du R, r und h kennst — diese drei Eingaben reichen für Bastelschablonen, Blechzuschnitte, Farbschätzungen und Geometrieaufgaben.
Gib unteren Radius, oberen Radius und Höhe in einer beliebigen Längeneinheit ein, um Mantellinie, Mantelfläche und Gesamtoberfläche sofort zu erhalten.
Drei kurze Formeln, alle aus den beiden Radien, der Höhe und der Konstante π (etwa 3,14159) gebildet.
Gesamt = π × (R + r) × l + π × R² + π × r²Die Mantellinie l ist die schräge Seite des Kegelstumpfs; da der Radius über die Höhe h um (R − r) abnimmt, liefert der Satz des Pythagoras l = √((R − r)² + h²). Die Mantelfläche — die gekrümmte Wand, ohne die Kreisflächen — ist π × (R + r) × l. Die Gesamtoberfläche addiert die beiden flachen Kreise dazu: die untere Fläche π × R² und die obere Fläche π × r².
Angenommen, du hast einen Kegelstumpf mit einem unteren Radius von 5, einem oberen Radius von 3 und einer Höhe von 4.
Mantellinie
√((5 − 3)² + 4²) = √(4 + 16) = √20 ≈ 4,472136 — die schräge Seite.
Mantelfläche
π × (5 + 3) × 4,472136 ≈ 112,397036 Quadrateinheiten — nur die gekrümmte Wand.
Gesamtoberfläche
112,397036 + π × 5² + π × 3² ≈ 219,211186 Quadrateinheiten — Wand plus beide Kreisflächen.
Die drei Ergebnisse beantworten drei verschiedene praktische Fragen. Die Mantellinie (hier etwa 4,472136) ist die Strecke, die du außen an der schrägen Seite vom oberen zum unteren Rand misst — sie markierst du, wenn du eine flache Schablone zuschneidest, die du zu einem Eimer oder Lampenschirm rollst, und sie ist immer länger als die senkrechte Höhe. Die Mantelfläche (etwa 112,397036 Quadrateinheiten) ist die gekrümmte Wand für sich: das Material eines Lampenschirms, das um einen konischen Becher gewickelte Etikett, das Blech in der Eimerseite — nutze sie, wenn die Enden offen sind. Die Gesamtoberfläche (etwa 219,211186 Quadrateinheiten) addiert beide flachen Kreise und ist damit die Zahl, die du brauchst, wenn der Kegelstumpf oben und unten geschlossen ist, wie die ganze Außenseite eines versiegelten Behälters, den du streichen oder beschichten willst. Beachte: Die Mantelfläche nutzt die Summe der Radien (R + r), was dem Doppelten des mittleren Radius entspricht — die gekrümmte Wand verhält sich wie ein Zylinder mit dem Mittelwert aus oberem und unterem Radius. Sind beide Radien gleich, wird der Kegelstumpf zu einem schlichten Zylinder und die Formeln gehen in die vertraute Zylinderoberfläche über.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Gerade Kreis-Kegelstümpfe und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben einen geraden Kreis-Kegelstumpf — beide Flächen sind Kreise und die Achse zwischen ihren Mittelpunkten steht senkrecht. Ein schiefer Kegelstumpf (oberer Kreis zur Seite versetzt), eine elliptische oder quadratisch verjüngte Form oder ein reales Objekt mit gerolltem Rand oder Wandstärke weicht vom berechneten Wert ab. Die Höhe ist hier die senkrechte Höhe zwischen den Flächen, nicht die Mantellinie — verwechsle die beiden nicht. Die beiden Radien und die Höhe sind außerdem einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: Radien und eine Höhe in Zentimetern ergeben Flächen in Quadratzentimetern, niemals eine Mischung.