Kegeloberfläche Rechner
Gib einen Grundradius und eine Mantellinie ein, um die Gesamtoberfläche eines Kegels in Quadrateinheiten zu erhalten — samt der Mantelfläche (gekrümmte Seite) allein.
Gesamt- und Mantelfläche auf einmal
Gib Radius und Mantellinie ein und der Rechner liefert die Gesamtoberfläche (πr(r + l)) und die Mantelfläche (πrl) zusammen.
Mantellinie verwenden
Die zweite Eingabe ist die Mantellinie l, nicht die senkrechte Höhe — kennst du nur die Höhe h, ist die Mantellinie √(r² + h²).
Was ist die Kegeloberfläche?
Die Hülle eines Kegels
Ein Kegeloberfläche-Rechner macht aus zwei Größen — dem Grundradius und der Mantellinie — die Fläche der äußeren Hülle des Kegels. Ein gerader Kreiskegel hat zwei Teile an seiner Oberfläche: die flache kreisförmige Grundfläche und die gekrümmte Seite, die sich bis zur Spitze hochzieht. Die Gesamtoberfläche umfasst beide, während die Mantelfläche nur die gekrümmte Seite allein ist. Beide kommen in Quadrateinheiten zurück: Gibst du Radius und Mantellinie in Zentimetern ein, erhältst du Quadratzentimeter, in Zoll entsprechend Quadratzoll. Das ist die Zahl hinter der Frage, wie viel Papier eine Eistüte umhüllt, wie viel Blech ein Trichter braucht oder wie viel Farbe ein kegelförmiges Dach bedeckt.
Gib einen Grundradius und eine Mantellinie in derselben Längeneinheit ein, um sofort die Gesamt- und Mantelfläche des Kegels zu erhalten.
Die Gesamtoberfläche ist Pi mal dem Radius mal dem Radius plus der Mantellinie; die Mantelfläche lässt die Grundfläche weg.
A = π × r × (r + l)Die Grundfläche ist ein Kreis mit der Fläche πr², und die gekrümmte Seite hat die Fläche πrl; addiert und mit ausgeklammertem πr ergibt sich die kompakte Form πr(r + l). Die Mantelfläche ist einfach πrl, für denselben Kegel also π × 3 × 5 = 47,12389 Quadrateinheiten. Halte beide Eingaben in derselben Längeneinheit, dann kommt das Ergebnis in dieser Einheit zum Quadrat zurück.
Angenommen, ein Kegel hat einen Grundradius von 3 und eine Mantellinie von 5 (in derselben Einheit).
Mantelfläche bestimmen
π × 3 × 5 = 47,12389 — die gekrümmte Seite allein.
Radius in der Klammer addieren
r + l = 3 + 5 = 8 — Radius plus Mantellinie.
Mit π und dem Radius multiplizieren
π × 3 × 8 = 75,398224 Quadrateinheiten — die Gesamtoberfläche, Grundfläche inklusive.
Die zwei Ergebnisse beantworten zwei verschiedene Fragen. Die Gesamtoberfläche (75,398224 beim Kegel oben) ist die ganze äußere Hülle — die gekrümmte Seite plus die kreisförmige Grundfläche — und ist das, was du brauchst, wenn der Kegel geschlossen ist, etwa eine massive Skulptur oder ein versiegelter Tank. Die Mantelfläche (47,12389) ist nur die gekrümmte Seite, die richtige Zahl für einen offenen Kegel wie einen Pappbecher, eine Eistüte oder einen Trichter, bei dem kein Deckel zu bedecken ist. Da beide Formeln den Term πrl teilen, ist der Unterschied zwischen ihnen genau die Fläche der Grundfläche, πr² — hier π × 3² = 28,274334. Wächst der Radius im Verhältnis zur Mantellinie, nimmt die Grundfläche einen größeren Anteil am Ganzen ein; bei einem hohen, schmalen Kegel dominiert dagegen die gekrümmte Seite.
Die Formel ist exakt, doch eine Eingabe wird leicht verwechselt.
Mantellinie, nicht senkrechte Höhe
Das l in πr(r + l) ist die Mantellinie — der schräge Abstand entlang der gekrümmten Seite vom Rand der Grundfläche bis zur Spitze — nicht die senkrechte Höhe h, die gerade durch die Mitte gemessen wird. Kennst du nur die senkrechte Höhe, rechne zuerst mit dem Satz des Pythagoras um: Mantellinie = √(r² + h²). Dieser Rechner gilt für einen geraden Kreiskegel mit kreisförmiger Grundfläche; schiefe Kegel oder elliptische Grundflächen deckt er nicht ab. Halte Radius und Mantellinie in derselben Längeneinheit, sonst stimmt das Ergebnis in Quadrateinheiten nicht.