Pyramidenstumpf-Volumen Rechner
Aus zwei Quadratseiten und einer Höhe erhältst du Volumen, Mantelfläche und Gesamtoberfläche — die Zahlen, die jede quadratische Pyramide mit abgeschnittener Spitze beschreiben.
Drei Eingaben, drei Antworten
Gib die untere Seite, die obere Seite und die Höhe ein und der Rechner liefert auf einmal das Volumen ((h/3)(a² + ab + b²)), die Mantelfläche und die Gesamtoberfläche.
Einheiten gleich halten
Die beiden Seiten und die Höhe sind einheitenunabhängig — deine Ergebnisse kommen in derselben Einheit zurück (quadriert bei den Flächen, kubiert beim Volumen), mische also nicht Zentimeter mit Zoll.
Was ist ein Pyramidenstumpf?
Eine quadratische Pyramide mit abgeschnittener Spitze
Ein Stumpf einer quadratischen Pyramide entsteht, wenn du eine quadratische Pyramide nimmst und die Spitze mit einem zur Grundfläche parallelen Schnitt absägst. Übrig bleibt ein Körper mit flacher Oberseite: ein großes Quadrat unten (Seite a), ein kleineres Quadrat oben (Seite b) und vier schräge Flächen dazwischen. Es ist die Form eines Lampenschirms, eines Pflanzkübels, einer Tortenetage, eines Trichters oder einer Stufe einer mesoamerikanischen Tempelpyramide. Kennst du die beiden Quadratseiten und die senkrechte Höhe, steht jedes weitere Maß fest, denn alle Flächen sind gleich stark geneigt.
Gib untere Seite, obere Seite und Höhe in einer beliebigen Längeneinheit ein, um Volumen, Mantelfläche und Gesamtoberfläche sofort zu erhalten.
Drei kurze Formeln, alle aus der unteren Seite a, der oberen Seite b und der Höhe h gebildet.
Volumen = (h/3) × (a² + a·b + b²)Die Mantellinie ist die schräge Höhe einer Seitenfläche; nach dem Satz des Pythagoras ist sie √(h² + ((a − b)/2)²), wobei (a − b)/2 angibt, wie weit jede Seite nach innen springt. Die Mantelfläche — die vier trapezförmigen Flächen — ist 2 × (a + b) × Mantellinie. Die Gesamtoberfläche addiert dazu das untere Quadrat (a²) und das obere Quadrat (b²).
Angenommen, du hast einen Stumpf mit einer unteren Seite von 6, einer oberen Seite von 4 und einer Höhe von 9.
Mantellinie
√(9² + ((6 − 4)/2)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,055385 — die Diagonale einer Seitenfläche.
Mantelfläche
2 × (6 + 4) × 9,055385 ≈ 181,107703 Quadrateinheiten — die vier schrägen Flächen.
Volumen
(9/3) × (36 + 24 + 16) = 3 × 76 = 228 Kubikeinheiten — der Platz darin.
Die drei Ergebnisse beantworten drei verschiedene praktische Fragen. Das Volumen (228 Kubikeinheiten bei a = 6, b = 4, h = 9) ist, wie viel der Stumpf fasst — die Erde in einem sich verjüngenden Pflanzkübel, das Material in einem Trichter, der Teig in einer Tortenetage. Beachte, dass die Formel sauber zwischen zwei einfacheren liegt: Setzt du die obere Seite gleich der unteren, wird daraus ein Quader (a² × h), setzt du die obere Seite auf null, wird daraus eine ganze Pyramide ((1/3)a²h). Die Mantellinie (hier etwa 9,055385) ist die Diagonale, die du an einer schrägen Fläche entlang misst, immer etwas länger als die senkrechte Höhe — genau die Zahl, die du brauchst, wenn du die Seitenteile für einen Lampenschirm oder Pflanzkübel zuschneidest. Die Mantelfläche (etwa 181,107703 Quadrateinheiten) sind nur diese vier Flächen, das Material zum Bespannen oder Verkleiden; die Gesamtoberfläche (etwa 233,107703) addiert das untere und obere Quadrat für die volle Außenfläche, praktisch, wenn du den ganzen Körper streichen oder beschichten willst. Nimm die Mantelfläche, wenn oben und unten offen sind, die Gesamtoberfläche, wenn sie geschlossen sind.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Gerade quadratische Stümpfe und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben einen geraden Stumpf einer quadratischen Pyramide — beide Flächen sind Quadrate, mittig übereinander, mit senkrecht gemessener Höhe. Ein rechteckiger Stumpf (unterschiedlich große Rechtecke), ein schiefer Stumpf (Oberseite zur Seite versetzt) oder ein Stumpf mit nicht-quadratischen Flächen weicht vom berechneten Wert ab. Die beiden Seiten und die Höhe sind außerdem einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur dann sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: Seiten und eine Höhe in Zentimetern ergeben ein Volumen in Kubikzentimetern und Flächen in Quadratzentimetern, niemals eine Mischung.